0638

640

XIV. Całki zależne od parametru

Odpowiednio do tego rozbijmy i sumę

s. = £    .

t    l*    f

Teraz już łatwo spostrzec, że

£    < e]T d™ < s (b-d) ,

r    i*

my.dp < Z, <L6,

r*    v*

gdyż zgodnie z założeniem jest    Stąd

■s, < e (b—a)+LS ;

ponieważ e i ó wybraliśmy dowolnie, więc nierówność ta dowodzi równości (3).

Przypadek ogólny sprowadza się łatwo do tego przypadku szczególnego, w którym twierdzenie udowodniliśmy. Mianowicie, ponieważ zachodzi nierówność

*    b    b

1//»(-*•) dx— J tp (ar) dx| < / I f.{x)-q> (x)| dx,

aa    a

więc wystarczy zastosować otrzymany wynik do funkcji nieujemnej | A(x)~<p (jr)| dążącej do zera.

Wniosek. Jeśli spełnione są wszystkie założenia prócz założenia o calkowalności funkcji granicznej, to zawsze istnieje skończona granica

i

lim J /.(ar) dx .

Dla dowodu wystarczy (39) stwierdzić, że dla dowolnego e>0 istnieje taka liczba N, że dla n">n’>Njest |//.••(*) dx— Jdx\ = |J [/.■<(*)—/■•(.*)] dx| < e .

me    a

Przypuśćmy, że jest przeciwnie. Wówczas istnieje taka liczba e₀ i takie dwa rosnące nieograniczenie ciągi liczb n_m i n" (m = 1, 2, 3,...; n” > n_m), że zawsze spełniona jest nierówność

(4)    |J    dx\ > fo.

a

Z drugiej strony, mamy

I < ^2L > lim lf,"(x)-f,-_m{x)) *= 0.

m-*oo

Jeśli do funkcji

fl(x) = f.z(x)-f.-_m(x)

zastosujemy twierdzenie Arzeli, to otrzymamy

b    b

lim j ft(x) dx = lim J [/,"(*)-/.;(*)] dx = 0,

■-*<D_a    «-*CO _B

co przeczy nierówności (4). Ze sprzeczności tej wynika dowodzone twierdzenie.

Łatwo jest przejść od parametru naturalnego n do dowolnego parametru y [por. twierdzenie 1 z ustę-du 306].