Elektronika W Zad cz 2 8

w Ciątyfeki - ELEKTRONIKA W ZADANIACH Część 4: Charakterystyki częstotliwościowe układów elektronicznych

Ten prąd pomnożony przez rezystancję R daje napięcie wyjściowe: i/»_r R _ jo>RC

_R+J— ”i+/to

(4.5.2)

u„=Ri=-

jioC

Transmitancja napięciowa (funkcja przejścia) ukiadu ma więc postać wyrażenia zespolonego:

(4.5.3)

jitiRC 1+ ju>RC

Wyrażenie to możemy przedstawić:

• w postaci algebraicznej, tzn. jako sumę wektorową części rzeczywistej (łac.: realis) i części urojonej (łac.: imaginarius):

(yco) = Re[A'„ (yco)] + ylm [K_u (yd))] (4.5.4)

Aby uzyskać taką postać należy licznik i mianownik wyrażenia (4.5.3) pomnożyć przez liczbę sprzężoną z mianownikiem, tzn. przez (l-jcoRC). Uzyskujemy wtedy:

(o RC

K ( /oj) - J ^w /?C(1 ~ ^RC) - ft^{0 RC}|

" ⁷ l-(yt0/?O² l + (coflC)²Jl + (foRC)²

Porównując tę postać z równaniem definicyjnym (4.5.4) mamy więc: (o RC)²

Re[K„(yco)] =

l + (m RC)²u) RC l + (coRC)²

(4.5.5)

(4.5.6)

(4.5.7)

• w postaci wykładniczej, tzn. w postaci wyrażenia określającego moduł k_u i przesunięcie fazowe ip_u transmitancji napięciowej zdefiniowane jak niżej:

K, (yoo) = |/ć_u (ya))| -e”- = k„e*- (4.5.8)

Do takiej postaci dochodzimy przekształcając na postać wykładniczą licznik i mianownik wyrażenia (4.5.3), co pokazano poniżej:

wRCe^jW

(4.5.9)

co/?C

Vł HaRCf-e*"""^' ^⁺«»RC)²

Porównując (4.5.8) i (4.5.9) otrzymujemy dwa wyrażenia, z któiych pierwsze pozwala na wykreślenie charakterystyki częstotliwościowej modułu k„ transmitancji (zwanej też „charakterystyką amplitudową”, gdyż określa ona stosunek amplitud napięcia wyjściowego i wejściowego):

to RC

Vl + (io RC)²

(4.5.10)

a drugie pozwala na wykreślenie „charakterystyki fazowej”, tj. zależności od częstotliwości sygnału wartości kąta tp_u, tzn. przesunięcia fazowego pomiędzy napięciem wyjściowym a wejściowym:

<p_u = 90" -arc rg(0) RC) = arc ctg(to RC) (4.5.11)

W powyższych wyrażeniach podobnie jak w poprzednich zadaniach występuje zależna od częstotliwości sygnału bezwymiarowa zmienna cuRC = 2nfRC. Jeśli jak poprzednio oznaczymy przez cu₀ odwrotność iloczynu wartości elementów R i C tworzących układ, tzn. przyjmiemy:

W. Ciązyóski - ELEKTRONIKA W ZADANIACH Część 4: Charakterystyki częstotliwościowe układów elektronicznych

Mi sio!

(4.5.12)

to stwierdzimy, że:

u_RC=1L=M-=L

(4.5.13)

w₀ 2xc/₀ /o

czyli coRC, to zmienna określająca stosunek częstotliwości/sygnału do częstotliwości charakterystycznej fo układu, zależnej od wartości tworzących ten układ elementów R i C, która w warunkach zadania wynosi:

_f _ 1 . ^Ja 2n 2n/? C

1000

2-3,1410³ŚM0-⁶F 6,28

Hz = 159 Hz

(4.5.14)

Ad 1. Na rysunku 4.5.2 na osi poziomej przyjęto liniową skalę częstotliwości, wyrażonych przez wartości względne, tzn. jako stosunek częstotliwości bieżącej sygnału / do częstotliwości granicznej fo- No osi pionowej przyjęto liniową skalę wzmocnienia w zakresie od 0 do 1. Uzyskane w takim układzie współrzędnych charakterystyki modułu i fazy transmitancji napięciowej opisane zależnościami funkcyjnymi (4.5.10) i (4.5.11) są unormowane (słuszne dla każdego zestawu wartości parametrów R i C układu).

Rys 4.5.2 Charakterystyki częstotliwościowe modułu i fazy transmitancji filtru górnoprzepustowego RC 1. rzędu (w liniowym układzie współrzędnych)

Dla częstotliwości charakterystycznej /=/„= 159 Hz (czyli ojRC = 1) jak wynika z zależności (4.5.10) mamy moduł wzmocnienia równy:

k. = -=L= = = 0,707 (4.5.15)

yll + l v2

Zauważmy, że dla fo impedancja kondensatora U((uoC) jest równa rezystancji R. Przez obydwa elementy płynie ten sam prąd i, czyli spadki napięcia na nich mająjednakowe amplitudy. Nie mają jednak jednakowej fazy względem prądu /'. Spadek napięcia na rezystancji R ma fazę zgodną z fazą prądu, a spadek napięcia na kondensatorze spóźnia się w stosunku do prądu o 90°. Wynika z tego, że napięcie wyjściowe wyprzedza w fazie napięcie wejściowe o 45° (Tę sytuację można także będzie prześledzić poniżej na wykresie wektorowym pokazanym na rysunku 4.5.4.).