254 2

254

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

a więc zawartym w przedziale [o — h, a+ h] = [z, 2Aj. Stąd

Do lewej strony stosujmy wzór (7.1.5). Z założonej ciągłości f" wynika, że średnia aroł tyczna f'XŹi) i/"<<f3> jest równa wartości/'' w pewnym punkcie c zawartym między ą ^

Nie uogólniamy tej metody dowodu na przypadek k>2, gdyż później stanie się ' doczne, żc twierdzenie 7.1.4 jest konsekwencją ogólniejszego wyniku; zob. uwagę do _twS’ dzenia 7.3.5.

Stwierdziliśmy więc, że h~^kA^kf(x) przybliża wartość f^ik\x); błąd tego przybliżeń dąży do zera, gdy A -* 0 (tj. gdy ę -> x). Z reguły ten błąd jest z grubsza proporcjonalny do h. Obliczając A^kf (x), korzysta się z wartości funkcji/w punktach x, x+h,.... x+kh-są one rozłożone symetrycznie wokół punktu a=x+\kk. Kolejny przykład i twierdzenie 7.1.5 pokazują, że h~^%A^kf (x) znacznie lepiej niż/^Jt) przybliża f^ik'(a) - z błędem 0(h^l).

Przykład 7.1.6. Dla /(x)=e* i /i=0.1 mamy

o.i _ o

—q"j—**1.05171.

Porównajmy z tym wynikiem wartości /'(0)= 1 i /'(0.05)= 1.05127.

Wprowadzamy dwa nowe operator)' różnicowe:

$/(*)=/ (x+$h)—f (x—łh)    (operator różnicy centralnej),

tⁱf(^x)⁼ł[f(-^x + łh)+f(.x—ł^)] (operator średniowanla).

W^robec tego w powyższym przykładzie można napisać

h~^l3f (0.05)= 1.05171«/'(0.05).

Związek między' symboliką różnic progresywnych i różnic centralnych pokazuje poniższa tablica:

f-	2	f—2
	^ 4/-1	V-1.5
f-	: Sf-i	/-t *5^2/-
	4/-i ^^3/-a	<5/- 0.5
/o	4*/-l ^7-2	/o «5^2/o
		A/o.5
fi	<*Vo	/l *Vl
		<5/1.5
h		/a

Pf-0.5

S*fo

S³A>

W drugiej symbolice wskaźniki są jednakowe w wierszach, a w kątnych.

pierwszej

_ wzłflUŻ