262 2

262

T. .Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

Z równań normalnych (4.2.6) otrzymujemy

(Po, Pl)Co+(?l>    )«**(/, Vl)

Ponieważ (<p₀, fi)=(?2. Pi^O. więc

vę»1.9l)    i-- 2    I--2

Stąd

(7.2.8)

/₀«C,

10A

W dalszymi ciągu tego rozdziału poznamy inne wzory przybliżone różniczkowania numerycznego.

7.2.2. Ekstrapolacja i terowana Richardsona

W wielu obliczeniach chciałoby się znać graniczną wartość pewnej wielkości, odpowiadającą przejściu z długością kroku do zera. Niech F(k) oznacza wartość tej wielkości dla długości kroku A. Koszt obliczenia F(h) często gwałtownie rośnie, gdy h -*■ 0. Oprócz tego skutki błędów zaokrągleń nierzadko ograniczają z dołu sensowną wartość A.

Wiadomo często, jak zachowuje się błąd obcięcia F(h)—F(Q), gdy A -♦ 0. Jeśli

F(A) = a^ro-Pa_lA^J’+0(A'^-)-    gdzie A-+0, r>p,

a₀=F(0) jest wielkością, którą próbujemy znaleźć, a a_t nie jest znane, to i można przybliżyć obliczając F dla dwóch długości kroku, np. A i qh (£> J):

F(A)=a₀ + a,A^F+O(A^r),

F(4A)=o₀ + _fll(_?A)'^,+0(A^r).

F(0)=a_o=F(A)+

Otrzymujemy stąd, że (7.2.9)

q’-V

To postępowanie nazy^rwa się ekstrapolacją Rlckardsona. Przykład jej zastosowania do wzo.u trapezów całkowania numerycznego (gdzie p-2_yq = 2) poznaliśmy w § l .2.

Załóżmy, że - jak w twierdzeniu 7.1.5 - jest znana postać pełniejszego rozwinięcia F(h) względem potęg kroku k. Wtedy można, jeśli r.awet nie są znane współczynniki tego rozwinięcia, i terować ekstrapolację Richardsona tak, jak to opisano niżej. W wiciu ^ gadnieniach — szczególnie w obliczaniu całek i rozwiązywaniu równań różniczkowych -postępowanie jest najprostszym sposobem konstrukcji wyników o pomijalnym bięrbteWWĘSk Zastosowanie tego procesu jest szczególnie proste wtedy, gdy długości kroków v#o ciąg geometryczny:

A_u, q *A_C,, q h₀,...