DSC00861 (2)

128 Estymacja punktowa i przedziałowi

Średnia arytmetyczna ma kilka właściwości. Najważniejsze z nich to:

• Iloczyn wartości średniej arytmetycznej i liczebności próby (liczby pomiarów, na podstawie których została ona obliczona) równy jest sumie zaobserwowanych wartości:

«*«£*,    (43)

M

• Suma odchyleń wartości zaobserwowanych w próbie od średniej arytmerycznej równa jest 0 (zero):

n    n

/X^xt “S:)³⁵    - nx=*n-x-n-x = 0    (4.4)

/-i    M

• Suma kwadratów odchyleń kolejnych obserwacji od średniej arytmetycznej osiąga wartość minimalną:

= min    (4.5)

w

Ostatnia właściwość wyraża fakt, że suma kwadratów odchyleń obserwacji od średniej arytmetycznej nie jest większa od sumy kwadratów odchyleń od dowolnej liczby rzeczywistej a, co można wykazać następująco:

£(*<-af = jr(x, -x+x-af

M    M

=2 (*» - *f⁺ 2 • (*- “) £(* - *)⁺|    (⁴-⁶>

M    la 1

-£(* ~*Y +(*-“? *£(*/ -*)

p-I    i=l

• Średnia arytmetyczna spełnia zawsze podwójną relację:

(4.7)

■*min ^ X ^ X|mx