DSC00865 (4)

132 Estymacja punktowa i przedziałowa

Symbol ^A umieszczony nad a wskazuje, że mamy do czynienia nie z parametrem populacji, lecz z jego estymatorem.

Sytuacje, w których znana jest wartość oczekiwana m, należą do rzadkości, dlatego zazwyczaj w jej miejsce wprowadza się do obliczeń estymator tego parametru, czyli średnią arytmetyczną z próby x. Ponieważ w zasadzie zawsze zachodzi relacja m *x, to uwzględniając związek (4.6), otrzymuje się:

(4.15)

Z relacji (4.15) wynika, że estymator wariancji w postaci średniej arytmetycznej sumy kwadratów odchyleń wyników próby od ich średniej arytmetycznej (prawa strona nierówności (4.15)) zaniża rzeczywistą wartość szacowanego parametru. Tak skonstruowany estymator, oznaczany powszechnie s², jest zatem estymatorem obciążonym (ujemnie). Aby zniwelować to obciążenie, należy ustalić, o ile estymator s¹ zaniża wartość er².

Najpierw wykażemy, że:

='Y_J{x_i-x-m + m)² =    |

n

n

= ~^ffQ² ~²(*    -mf + n(x - mf =    (4.16)

n

=    (x, - mf - 2n(x -mf + n(x - mf =

n

potwierdzając w ten sposób ujemne obciążenie estymatora s .

Teraz zajmiemy się wyrażeniem n(x -m)², dokonując następujących przekształceń:

1

^ [(x, - mf - 2 (r, - m)(x-m)+(x - mf ]=