5466967421

64.    Dowieść zbieżności całki niewłaściwej f₀ ⁰⁰ dx.

65.    Dowieść zbieżności całki niewłaściwej f*°° ^cosy*- dx.

66.    Czy istnieje skończona całka niewłaściwa [J ln(sin:c) dx ?

67.    Czy funkcja f(x) =    jest całkowalna na (0, 1) ?

68.    Obliczyć objętość elipsoidy powstałej przez obrót elipsy wokół osi Ox.

69.    Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej przez pętlę krzywej y² = x² + x³.

Wskazówka. Podstawienie y — tx pozwala znaleźć parametryzację całej krzywej parametrem t.

70.    Obliczyć pole figury w R² zawartej między osią Ox i jedną pełną falą cykloidy x(t) = t-sint, y(t) = 1 — cos£, 0 < t < 2tt.

71.    Wykazać, że funkcja f(x,y) = „ni cos y ⁿ*^e J^est całkowalna na kwadracie (—f,f)x(—f,f).

72.    Wykazać, że funkcja f(x,y) = jest całkowalna na kwadracie (0, 1) x (0, 1) i obliczyć jej całkę po tym kwadracie.

73.    Wykazać, że funkcja f(x,y) =    nie jest całkowalna na kwadracie (0, 1) x (0, 1).

74.    Podać przykład dyfeomorfizmu klasy C¹, który przeprowadza zbiór {(x,y) € M²: 1 < x² + y² < 2, x < y < 2x} na kwadrat {(x,y) € M²: |a;| < 1, |y| < 1}.

75.    Podać przykład dyfeomorfizmu klasy C¹, który przeprowadza zbiór {(#, y) € R²: 0 < x² + y² < 1} na zbiór {(x, y) E R²: x² + y² > 1}.

76. Wykazać, że funkcja

jest całkowalna na R², a jej całka po R² jest równa 0.

77. Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej przez lemniskatę Bernoulliego (a:²+y²)² = x²—y².

78. Krzywa zwana kardioidą ma opis parametryczny x(t) = 2 cos t — cos 21, y{t) = 2 sin t — sin 21, 0 < i < 2tt. Obliczyć długość kardioidy.

79. Krzywa zwana kardioidą ma opis parametryczny x(t) = 2 cos t — cos 21, y(t) = 2 sin t. — sin 21, 0<t< 2ir. Obliczyć pole obszaru w R² ograniczonego tą krzywą.

80. Obliczyć granicę

lim v^l — 3x.

x-*0+

dla wszystkich x E (—1,1).

81. Sformułować twierdzenie o różniczkowaniu szeregów potęgowych. Wykazać, że ^ 2 n _ ^X(1 +

(1 — X)³

82. Niech f(x) = ^ dla x > 1. Znaleźć lokalne ekstrema funkcji / oraz jej kres dolny i górny. Zbadać, na jakich przedziałach / jest wypukła, a na jakich wklęsła. Naszkicować wykres tej funkcji.

6