Wyklad22, Psychologia, biologia, Matematyka


Opracowanie: Michał Półtorak

WYKŁAD 22

CAŁKI WIELOKROTNE

Niech (0x01 graphic
,Β(0x01 graphic
), ln) - przestrzeń z miarą

Β(0x01 graphic
) - σ algebra generowana przez 0x01 graphic

0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
podzb. zb. miary Lebesque'a zero}

Niech 0x01 graphic
f - ln - całkowalna

0x01 graphic
ln(dx) = 0x01 graphic
ln(dx) całka względem miary Lebesque'a w 0x01 graphic

Niech 0x01 graphic

0x01 graphic
ln(dx) = 0x01 graphic
0x01 graphic
ln(dx)

oznaczenie: 0x01 graphic
ln(dx) = 0x01 graphic
dx1...dxn

TWIERDZENIE 22.1

Z :

f∈C[a,b] 0x01 graphic

T :

f - całkowalna na [a,b]

bez dowodu

TWIERDZENIE 22.2 (O WARTOŚCI ŚREDNIEJ)

Z:

f∈C[a,b]

T:

0x01 graphic
ln([a,b]), gdzie ln[a,b] = 0x01 graphic

Dow:

Niech 0x01 graphic
, 0x01 graphic
z monotoniczności całki :

0x01 graphic

α ln([a,b]) ≤ 0x01 graphic
n([a,b])

0x01 graphic
0x01 graphic

CAŁKA PODWÓJNA

Niech f : 0x01 graphic
całkowalna,0x01 graphic
- przestrzeń z miarą [a,b] = [a1,b1] × [a2,b2]

0x01 graphic
l2(dx)0x01 graphic

TWIERDZENIE 22.3 (FUBINIEGO)

Z:

f - całkowalna na [a,b]

Niech ϕ : [a1,b1] ∋ 0x01 graphic

T:

1° ϕ - całkowalna na [a1,b1] (l1 - całkowalna)

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

UWAGA:

Jeżeli f ∈ C[a,b] to 0x01 graphic
jest cgła na [a1,b1]

WNIOSEK 22.1

Jeżeli 0x01 graphic
, f - całkowalna na [a,b] to:

1° Ψ - całkowalna na [a2,b2]

0x01 graphic

DEFINICJA 22.1 (OBSZAR NORMALNY)

R2 ⊃ D - normalny względem osi OX0x01 graphic
,

0x01 graphic
}

0x08 graphic

y

D

a b x

Obszar normalny względem osi OX (nie jest normalny względem osi OY)

TWIERDZENIE 22.4 (O ITERACJI)

Z:

f ∈ C(D) D - obszar normalny względem osi OX

T:

0x01 graphic

0x08 graphic
Dow.

d

y = Ψ(x)

D

y = ϕ(x)

c

a b

Niech 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, P = [a,b] ×[c,d]

Niech 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

f* - całkowalna na P

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
, ale 0x01 graphic
=

=0x01 graphic

zatem

0x01 graphic
teza

Analogiczne, twierdzenie jest prawdziwe, jeżeli obszar D jest normalny względem osi OY.

PRZYKŁAD 22.1

Obliczyć 0x01 graphic
D - ograniczony krzywymi: x=0, y=1, 0x01 graphic

0x08 graphic
y

0x01 graphic

y=1

D

1 x x=0

0x01 graphic
0x01 graphic

Rzutujemy obszar D na oś OY zmieniając kolejność całkowania

0x01 graphic

0x01 graphic

TWIERDZENIE 22.5 (O ZAMIANIE ZMIENNYCH)

Z:

0x01 graphic

1° Φ - bijekcja

0x01 graphic
- ciągła w D ∪ ∂D 2° Φ∈C1(Δ)

J(u,v)=det[Φ'(u,v)]

0x01 graphic

T:

0x01 graphic

J(u,v)0x01 graphic
0x01 graphic

bez dowodu

PRZYKŁAD 22.2

0x01 graphic
D - ograniczony krzywymi: xy = 1, xy = 2, y = 2x, y=x

0x08 graphic

y y=2x y=x

D1

xy=2

xy=1

x

D2

0x01 graphic

Niech0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
w Δ

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wyklad25, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad14, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad26, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad18, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad28, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad23, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad27, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad11, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad24, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad15, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad21, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad4(1), Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad8(1), Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad17, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad2(1), Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad12(1), Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad5, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad1ALG2001a, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad20, Psychologia, biologia, Matematyka

więcej podobnych podstron