Opracowanie: Michał Półtorak

WYKŁAD 22

CAŁKI WIELOKROTNE

Niech (
,Β(
), l_n) - przestrzeń z miarą

Β(
) - σ algebra generowana przez

gdzie
podzb. zb. miary Lebesque'a zero}

Niech
f - l_n - całkowalna

l_n(dx) =
l_n(dx) całka względem miary Lebesque'a w

Niech

l_n(dx) =

l_n(dx)

oznaczenie:
l_n(dx) =
dx₁...dx_n

TWIERDZENIE 22.1

Z :

f∈C_[a,b]

T :

f - całkowalna na [a,b]

bez dowodu

TWIERDZENIE 22.2 (O WARTOŚCI ŚREDNIEJ)

Z:

f∈C_[a,b]

T:

l_n([a,b]), gdzie l_n[a,b] =

Dow:

Niech
,
z monotoniczności całki :

α l_n([a,b]) ≤
l­_n([a,b])

CAŁKA PODWÓJNA

Niech f :
całkowalna,
- przestrzeń z miarą [a,b] = [a₁,b₁] × [a₂,b₂]

l₂(dx)

TWIERDZENIE 22.3 (FUBINIEGO)

Z:

f - całkowalna na [a,b]

Niech ϕ : [a₁,b₁] ∋

T:

1° ϕ - całkowalna na [a₁,b₁] (l₁ - całkowalna)

2°

UWAGA:

Jeżeli f ∈ C_[a,b] to
jest cgła na [a₁,b₁]

WNIOSEK 22.1

Jeżeli
, f - całkowalna na [a,b] to:

1° Ψ - całkowalna na [a₂,b₂]

2°

DEFINICJA 22.1 (OBSZAR NORMALNY)

R² ⊃ D - normalny względem osi OX
,

}

y

D

a b x

Obszar normalny względem osi OX (nie jest normalny względem osi OY)

TWIERDZENIE 22.4 (O ITERACJI)

Z:

f ∈ C_(D) D - obszar normalny względem osi OX

T:

Dow.

d

y = Ψ(x)

D

y = ϕ(x)

c

a b

Niech
,
, P = [a,b] ×[c,d]

Niech

f* - całkowalna na P

, ale
=

=

zatem

teza

Analogiczne, twierdzenie jest prawdziwe, jeżeli obszar D jest normalny względem osi OY.

PRZYKŁAD 22.1

Obliczyć
D - ograniczony krzywymi: x=0, y=1,

y

y=1

D

1 x x=0

Rzutujemy obszar D na oś OY zmieniając kolejność całkowania

TWIERDZENIE 22.5 (O ZAMIANIE ZMIENNYCH)

Z:

1° Φ - bijekcja

- ciągła w D ∪ ∂D 2° Φ∈C¹(Δ)

J(u,v)=det[Φ'(u,v)]

3°

T:

J(u,v)

bez dowodu

PRZYKŁAD 22.2

D - ograniczony krzywymi: xy = 1, xy = 2, y = 2x, y=x

y y=2x y=x

D₁

xy=2

xy=1

x

D₂

Niech

w Δ