Opracowanie: Michał Półtorak
WYKŁAD 22
CAŁKI WIELOKROTNE
Niech (
,Β(
), ln) - przestrzeń z miarą
Β(
) - σ algebra generowana przez
gdzie
podzb. zb. miary Lebesque'a zero}
Niech
f - ln - całkowalna
ln(dx) =
ln(dx) całka względem miary Lebesque'a w
Niech
ln(dx) =
ln(dx)
oznaczenie:
ln(dx) =
dx1...dxn
TWIERDZENIE 22.1
Z :
f∈C[a,b]
T :
f - całkowalna na [a,b]
bez dowodu
TWIERDZENIE 22.2 (O WARTOŚCI ŚREDNIEJ)
Z:
f∈C[a,b]
T:
ln([a,b]), gdzie ln[a,b] =
Dow:
Niech
,
z monotoniczności całki :
α ln([a,b]) ≤
ln([a,b])
CAŁKA PODWÓJNA
Niech f :
całkowalna,
- przestrzeń z miarą [a,b] = [a1,b1] × [a2,b2]
l2(dx)
TWIERDZENIE 22.3 (FUBINIEGO)
Z:
f - całkowalna na [a,b]
Niech ϕ : [a1,b1] ∋
T:
1° ϕ - całkowalna na [a1,b1] (l1 - całkowalna)
2°
UWAGA:
Jeżeli f ∈ C[a,b] to
jest cgła na [a1,b1]
WNIOSEK 22.1
Jeżeli
, f - całkowalna na [a,b] to:
1° Ψ - całkowalna na [a2,b2]
2°
DEFINICJA 22.1 (OBSZAR NORMALNY)
R2 ⊃ D - normalny względem osi OX
,
}
y
D
a b x
Obszar normalny względem osi OX (nie jest normalny względem osi OY)
TWIERDZENIE 22.4 (O ITERACJI)
Z:
f ∈ C(D) D - obszar normalny względem osi OX
T:
Dow.
d
y = Ψ(x)
D
y = ϕ(x)
c
a b
Niech
,
, P = [a,b] ×[c,d]
Niech
f* - całkowalna na P
, ale
=
=
zatem
teza
Analogiczne, twierdzenie jest prawdziwe, jeżeli obszar D jest normalny względem osi OY.
PRZYKŁAD 22.1
Obliczyć
D - ograniczony krzywymi: x=0, y=1,
y
y=1
D
1 x x=0
Rzutujemy obszar D na oś OY zmieniając kolejność całkowania
TWIERDZENIE 22.5 (O ZAMIANIE ZMIENNYCH)
Z:
1° Φ - bijekcja
- ciągła w D ∪ ∂D 2° Φ∈C1(Δ)
J(u,v)=det[Φ'(u,v)]
3°
T:
J(u,v)
bez dowodu
PRZYKŁAD 22.2
D - ograniczony krzywymi: xy = 1, xy = 2, y = 2x, y=x
y y=2x y=x
D1
xy=2
xy=1
x
D2
Niech
w Δ