Opracowanie: Grzegorz Szymczyk

WYKŁAD 14

FUNKCJE UWIKŁANE (DOKOŃCZENIE)

I EKSTREMA WARUNKOWE

I. FUNKCJE UWIKŁANE

Niech

Pytamy kiedy równanie F(x,y)=0 przedstawia funkcję uwikłaną y=y(x).

TWIERDZENIE 14.1 (O FUNKCJI UWIKŁANEJ)

Z:

Niech

T:

1.   

2.  

3.  

WNIOSEK:14.1

Z:

są spełnione założenia tw.14.1

T:

1.   

2.  

3.

II. EKSTREMA WARUNKOWE

PRZYKŁAD 14.1

Zbadać ekstrema funkcji

Przy warunku

Zbadać ekstrema warunkowe to znaczy znaleźć ekstrema danej funkcji w dziedzinie zacieśnionej przez zadany warunek.

wstawiam do funkcji z:

obliczam pochodną funkcji z:

przyrównuję pochodną do zera:

więc:

Z warunku mamy

PRZYKŁAD 14.2

przy warunku:

Gdy z warunku wyliczymy:

Z układu tych równań wyliczamy

otrzymaliśmy 2 punkty:

druga pochodna jest równa:

Funkcja z osiąga minimum lokalne w punktach

Ale gdy z warunku wyliczymy:

otrzymujemy:

pochodna jest równa:

otrzymaliśmy 2 punkty:

ponieważ:

Więc funkcja z osiąga maksimum lokalne w punktach:

III. METODA MNOŻNIKÓW LAGRANGE'A

Założenie:

Szukamy ekstremów funkcji y=f(x) przy warunku g(x)=0.

W tym celu tworzymy funkcje Lagrange'a:

L(x,λ):=f(x)+λg(x)

Niech

Zauważam że

TWIERDZENIE 14.2 (WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM WARUNKOWEGO)

Z:

funkcja f osiąga ekstremum warunkowe w x₀

przy warunku: g(x)=0

T:

TWIERDZENIE 14.3 (WARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA EKSTREMUM WARUNKOWEGO)

Z:

w punkcie
jest spełniony warunek konieczny oraz

T:

f osiąga w x₀ minimum warunkowe (maksimum warunkowe)

PRZYKŁAD 14.2 (c.d.)

zbadać ekstremum funkcji
przy warunku:

tworzymy funkcję Lagrange'a:

Warunek konieczny:

Rozwiązując układ otrzymujemy:

dla punktu P₁ mamy:

jest określona dodatnio, zatem w punkcie P₁ mamy minimum warunkowe

Postępując tak samo dla kolejnych punktów znajdziemy pozostałe ekstrema warunkowe.

UWAGA:

Jeżeli:

1. i druga różniczka funkcji Lagrange'a jest określona dodatnio (ujemnie) to funkcja f osiąga w x₀ minimum(maksimum) warunkowe.

2. jeżeli druga różniczka funkcji Lagrange'a jest nieokreślona lub półokreślona wtedy należy badać określoność drugiej różniczki przy warunku:

DEFINICJA 14.1 (HESJAN OBRZEŻONY)

Mamy daną macierz postaci:

Minory główne tej macierzy nazywamy hesjanami

TWIERDZENIE 14.4

WNIOSEK:14.2 (WARUNEK WYSTARCZAJĄCY)

Z:

w punkcie

Jest spełniony warunek konieczny oraz

T:

funkcja f w punkcie x₀ osiąga minimum(maksimum) warunkowe.

III. Szukanie wartości największej i najmniejszej w zbiorze.

PRZYKŁAD 14.2 (c.d.)

Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji z w obszarze

gdy
.

Szukamy punktów stacjonarnych wewnątrz obszaru D:

Więc w punkcie
funkcja może posiadać ekstremum

Badamy punkty stacjonarne na brzegu obszaru D.:

konstruujemy funkcję Lagrange'a:

w.k.:

więc w punktach:
funkcja może mieć ekstremum warunkowe.

Wartości funkcji z w tych punktach wynoszą:

Więc: