Opracowanie: Maciej Sobol

WYKŁAD 23

UWAGA:

to samo:

WSPÓŁRZĘDNE BIEGUNOWE

Wprowadzając współrzędne biegunowe będziemy pisać:

PRZYKŁAD 23.1

Obliczyć:
,

D - obszar ograniczony
, a > 0

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI PODWÓJNEJ

Jeżeli
i
w D, wtedy I - objętość bryły ograniczonej od góry powierzchnią
, obszarem D od dołu i walcem o podstawie D z boku.

PRZYKŁAD 23.2

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

,

Jeżeli w równaniu nie występuje któraś zmienna, to powierzchnia przedstawia walec równoległy do osi (tej zmiennej).

Wprowadzamy współrzędne biegunowe:

obliczenie pomocnicze:

obliczenie pomocnicze:

WSPÓŁRZĘDNE BIEGUNOWE UOGÓLNIONE (ELIPTYCZNE)

PRZYPADEK OGÓLNY - CAŁKI WIELOKROTNE

DEFINICJA 23.1 (OBSZAR NORMALNY)

D - obszar normalny względem zmiennych

WNIOSEK 23.1

Jeżeli D - obszar normalny względem zmiennych
, to

:

Jeżeli ၄₁ - normalny względem zmiennych
, to:

Jeżeli ၄_n-1 - normalny względem x₁, to:

to

PRZYKŁAD 23.3

Obliczyć
,

równanie rzutu:

ale

zatem:

- 6 -

y

x

D

a

z

D

x

y

z

y

x

y

x

D

y

x

z

y

x

D

၄

.....

z

y

x

x

y

Δ

---