Opracowanie: Tomasz Wąsala
WYKŁAD 27
DEFINICJA 27.1 (PARAMETRYZACJA REGULARNA)
Niech:
- obszar (zbiór otwarty i spójny)
ℑ :
∋
ℑ -parametryzacja regularna :⇔
1°
2° ℑ - ciągła i różniczkowalna w
3° ℑ - różnowartościowa (iniekcja)
4° W Każdym punkcie powierzchni Rℑ istnieje
wektor (A1,A2,A3) ⊥ Rℑ,
przy czym:
(A1,A2,A3) =
Wyjaśnienie:
Rℑ - zbiór wartości odwzorowania ℑ (powierzchnia)
PRZYKŁAD 27.1
I.
z=z(x,y),
Niech:
ℑ :
∋
- parametryzacja naturalna
(A1,A2,A3) =
,czyli:
(A1,A2,A3) =
II.
Gdy powierzchnia jest wykresem funkcji zmiennych x, z:
y=y(x,z),
ℑ :
∋
Po analogicznym wyprowadzeniu jak w przypadku pierwszym:
(A1,A2,A3) =
III.
Gdy powierzchnia jest wykresem funkcji zmiennych y, z:
x=x(y,z),
1
ℑ :
∋
Więc:
(A1,A2,A3) =
TWIERDZENIE 27.1
Z: ℑ :
∋
- parametryzacja
regularna
Niech:
κ : Δ ∋
κ - bijekcja, różniczkowalna
Niech:
G = ℑ
κ : Δ ∋
G
=
Niech:
(B1,B2,B3) - wektor prostopadły do RG
T: 1° Rℑ = RG
2° (B1,B2,B3) = (A1,A2,A3)∙Jκ
,gdzie:
Jκ =
- jakobian odwzorowania κ
D: Ad 1° ⇐ z założeń (bezpośrednio)
Ad 2°
(B1,B2,B3)
Dowód dla B2, B3 przeprowadza się analogicznie jak dla B1.
DEFINICJA 27.2 (PARAMETRYZACJE RÓWNOWAŻNE)
ℑ ∼ G ⇔
G=
Jκ
UWAGA:
1° Rℑ = RG
2° (A1,A2,A3) oraz (B1,B2,B3) mają ten sam kierunek, ten sam zwrot.
TWIERDZENIE 27.1
Relacja „∼” - jest relacją równowartościową.
DEFINICJA 27.3 (PŁAT POWIERZCHNIOWY REGULARNY)
S = [ℑ] -płat powierzchniowy regularny.
DEFINICJA 27.4 (ORIENTACJA PŁATA)
Niech:
S = [ℑ]
(-S) = [G]
(-S) jest zorientowany przeciwnie do S :⇔ G
∋
G
Zauważmy, że:
Jeżeli κ ∋
Jκ
Wniosek:
(B1,B2,B3) = - (A1,A2,A3)
DEFINICJA 27.5
Niech
-określona, ciągła, różniczkowalna (…) na płacie powierzchniowym S=[ℑ]⇔
⇔
-określona ciągła różniczkowalna (…) w
.
DEFINICJA 27.6 (CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIESKIEROWANA)
Niech
-określona i ciągła na S=[ℑ]
PRZYKŁAD 27.2
Jeżeli
S: z=z(x,y),
WNIOSEK 27.1
1° Całka powierzchniowa niekierowana nie zależy od wyboru parametryzacji płata.
2° Całka powierzchniowa niekierowana nie zależy od orientacji płata.
DEFINICJA 27.7 (POWIERZCHNIA REGULARNA)
S - powierzchnia regularna ⇔ S
-są płatami powierzchniowymi, przy czym sąsiednie Si mają wspólne krawędzie.
DEFINICJA 27.8
Jeżeli S - powierzchnia regularna
CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA
Niech:
S = [ℑ] - płat powierzchniowy,
(A1,A2,A3) wektor ⊥ S,
,
,gdzie α,β,γ są to kąty jakie tworzy wektor
z osiami układu.
DEFINICJA 27.9 (CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA)
Niech:
- określone i ciągłe na S
Uwaga:
WNIOSEK 27.2
1° Całka powierzchniowa zorientowana nie zależy od wyboru parametryzacji płata.
2° Całka powierzchniowa zorientowana zależy od orientacji płata
PRZYKŁAD 27.3
S: z = z(x,y),
(A1,A2,A3) =
Jeżeli
- określone i ciągłe na S, to:
S: z = z(x,y),
Umowa:
S: z = z(x,y),
S - zorientowana dodatnio względem osi Oz ⇔ cosγ >0
np.
S: y= y(x,z),
S - zorientowana dodatnio względem osi Oy ⇔ cosβ >0
S: x= x(y,z),
S - zorientowana dodatnio względem osi Ox ⇔ cosα >0