Wyklad27, Psychologia, biologia, Matematyka


Opracowanie: Tomasz Wąsala

WYKŁAD 27

DEFINICJA 27.1 (PARAMETRYZACJA REGULARNA)

Niech:

0x01 graphic
- obszar (zbiór otwarty i spójny)

ℑ : 0x01 graphic
0x01 graphic

ℑ -parametryzacja regularna :⇔

0x01 graphic

2° ℑ - ciągła i różniczkowalna w 0x01 graphic

3° ℑ - różnowartościowa (iniekcja)

4° W Każdym punkcie powierzchni R istnieje

wektor (A1,A2,A3) ⊥ R,

przy czym:

(A1,A2,A3) = 0x01 graphic

Wyjaśnienie:

R - zbiór wartości odwzorowania ℑ (powierzchnia)

PRZYKŁAD 27.1

I.

z=z(x,y), 0x01 graphic

0x08 graphic

Niech:

ℑ : 0x01 graphic
0x01 graphic
- parametryzacja naturalna

(A1,A2,A3) = 0x01 graphic

,czyli:

(A1,A2,A3) = 0x01 graphic

II.

Gdy powierzchnia jest wykresem funkcji zmiennych x, z:

y=y(x,z), 0x01 graphic

ℑ : 0x01 graphic
0x01 graphic

Po analogicznym wyprowadzeniu jak w przypadku pierwszym:

(A1,A2,A3) = 0x01 graphic

III.

Gdy powierzchnia jest wykresem funkcji zmiennych y, z:

x=x(y,z), 0x01 graphic
1

ℑ : 0x01 graphic
0x01 graphic

Więc:

(A1,A2,A3) = 0x01 graphic

TWIERDZENIE 27.1

Z: ℑ : 0x01 graphic
0x01 graphic
- parametryzacja

regularna

Niech:

κ : Δ0x01 graphic

κ - bijekcja, różniczkowalna

Niech:

G = ℑ 0x01 graphic
κ : Δ0x01 graphic
G0x01 graphic

= 0x01 graphic

Niech:

(B1,B2,B3) - wektor prostopadły do RG

T: 1° R = RG

2° (B1,B2,B3) = (A1,A2,A3)∙Jκ

,gdzie:

Jκ =0x01 graphic
- jakobian odwzorowania κ

D: Ad 1° ⇐ z założeń (bezpośrednio)

Ad 2°

(B1,B2,B3) 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Dowód dla B2, B3 przeprowadza się analogicznie jak dla B1.

DEFINICJA 27.2 (PARAMETRYZACJE RÓWNOWAŻNE)

ℑ ∼ G ⇔ 0x01 graphic
G= 0x01 graphic
Jκ 0x01 graphic

UWAGA:

1° R = RG

2° (A1,A2,A3) oraz (B1,B2,B3) mają ten sam kierunek, ten sam zwrot.

TWIERDZENIE 27.1

Relacja „∼” - jest relacją równowartościową.

DEFINICJA 27.3 (PŁAT POWIERZCHNIOWY REGULARNY)

S = [ℑ] -płat powierzchniowy regularny.

DEFINICJA 27.4 (ORIENTACJA PŁATA)

Niech:

S = [ℑ]

(-S) = [G]

(-S) jest zorientowany przeciwnie do S :⇔ G0x01 graphic
0x01 graphic
G0x01 graphic

Zauważmy, że:

Jeżeli κ0x01 graphic

Jκ 0x01 graphic

Wniosek:

(B1,B2,B3) = - (A1,A2,A3)

DEFINICJA 27.5

Niech 0x01 graphic

0x01 graphic
-określona, ciągła, różniczkowalna (…) na płacie powierzchniowym S=[ℑ]⇔

0x01 graphic
-określona ciągła różniczkowalna (…) w 0x01 graphic
.

DEFINICJA 27.6 (CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIESKIEROWANA)

Niech 0x01 graphic
-określona i ciągła na S=[ℑ]

0x01 graphic

PRZYKŁAD 27.2

Jeżeli

S: z=z(x,y), 0x01 graphic

0x01 graphic

WNIOSEK 27.1

1° Całka powierzchniowa niekierowana nie zależy od wyboru parametryzacji płata.

2° Całka powierzchniowa niekierowana nie zależy od orientacji płata.

DEFINICJA 27.7 (POWIERZCHNIA REGULARNA)

S - powierzchnia regularna ⇔ S 0x01 graphic
-są płatami powierzchniowymi, przy czym sąsiednie Si mają wspólne krawędzie.

DEFINICJA 27.8

Jeżeli S - powierzchnia regularna

0x01 graphic

CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA

Niech:

S = [ℑ] - płat powierzchniowy,

(A1,A2,A3) wektor ⊥ S,

0x01 graphic
,

,gdzie α,β,γ są to kąty jakie tworzy wektor 0x01 graphic
z osiami układu.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

DEFINICJA 27.9 (CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA)

Niech:

0x01 graphic

0x01 graphic
- określone i ciągłe na S

0x01 graphic

Uwaga:

0x01 graphic

WNIOSEK 27.2

1° Całka powierzchniowa zorientowana nie zależy od wyboru parametryzacji płata.

2° Całka powierzchniowa zorientowana zależy od orientacji płata

0x01 graphic

PRZYKŁAD 27.3

S: z = z(x,y), 0x01 graphic

(A1,A2,A3) = 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Jeżeli 0x01 graphic
- określone i ciągłe na S, to:

0x01 graphic

0x01 graphic

S: z = z(x,y), 0x01 graphic

0x01 graphic

Umowa:

S: z = z(x,y), 0x01 graphic

S - zorientowana dodatnio względem osi Oz ⇔ cosγ >0

np. 0x01 graphic

S: y= y(x,z), 0x01 graphic

S - zorientowana dodatnio względem osi Oy ⇔ cosβ >0

S: x= x(y,z), 0x01 graphic

S - zorientowana dodatnio względem osi Ox ⇔ cosα >0



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wyklad25, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad22, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad14, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad26, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad18, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad28, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad23, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad11, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad24, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad15, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad21, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad4(1), Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad8(1), Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad17, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad2(1), Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad12(1), Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad5, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad1ALG2001a, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad20, Psychologia, biologia, Matematyka

więcej podobnych podstron