Opracowanie: Marcin Zańko

Wykład 26

Całki krzywoliniowe

Tw. 26.1 (Greena)

Z: R²
E - obszar

E - (brzeg obszaru ) - krzywa regularna, zamknięta zorientowana dodatnio
względem E (tzn. przeciwnie do ruchu wskazówek zegara)

funkcje:

P: R² → R, Q: R² →R - są określone i ciągłe oraz mają ciągłe pochodne

w

E - jest normalny względem obu osi współrzędnych

T:

(czyli całkę po krzywej zamkniętej można zamienić na całkę podwójną)

D:

1. 
   
   

2. 
   
   

Ad. 1)

z (I) i (II)
L=P

Przykład 26.1

Obliczyć całkę po krzywej zamkniętej L.

L - obwód ∆ABC A=(1,3), B=(2,2), C=(1,1)

Przyklad 26.2

Obliczyć całkę po krzywej zamkniętej L.

L - okrąg
(zorientowany dodatnio względem wnętrza)

Nie są spełnione założenia twierdzenia Greena. (P - nie jest ciągła w
)

Należy policzyć z definicji:

Uwaga.

Jeżeli są spełnoine założenia twierdzenia Greena i ponadto

dla
to

Wniosek 26.1

Z: Jeżeli P, Q
są określone i ciągłe w obszarze D oraz L₁, L₂ - krzywe
regularne mające wspólny początek i koniec, i L₁, L₂ zawarte są w obszarze D

i

T:

tzn. całka krzywoliniowa nie zależy od drogi po jakiej całkujemy, zależy jedynie
od początku i końca krzywej.

D :

Dla
oraz funkcji P, Q są spełnione założenia twierdzenia Greena.
Przy czym

Z (I) i (II)
teza

Uwaga:

Jeżeli całka krzywoliniowa nie zależy od drogi to

gdzie A - początek łuku L,

B - koniec łuku L

Przykład 26.3

Obliczyć całkę:

,

Całka krzywoliniowa nieskierowana.

Niech:

- łuk regularny

- określona i ciągła na K

Definicja 26.1 (całka krzywoliniowa nieskierowana)

Stwierdzenie.

1. Całka krzywoliniowa nieskierowana nie zależy od parametryzacji łuku.

2. Całka krzywoliniowa nieskierowana nie zalezy od orienatcji łuku.

Definicja 26.2

L=(K₁,K₂,...,K_m) - krzywa regularna

Przykład 26.4

x

y

a

b

L₂

L₃

L₄

L₁

L - łuk

obszar jest zorientowany dodatnio

x

y

A

B

C

1

2

3

2

1

y=-x+4

y=x

a

a

E

D

L₁

L₂

x

y

L₁

L₂

1

2

1

2

x

y

a

a

a

x

y

z

y

x

2

1

2

1

L₂

L₁

A

B