Opracowanie: Tomasz Rudowski

WYKŁAD 18

SZEREGI POTĘGOWE

Niech

f_n : K ဧ x ႾႮ f_n (x) = a_n (x-x₀)ⁿ , (a_n)_n჎N ჌ K

K - zbiór liczb zespolonych, lub rzeczywistych. W przypadku ogólnym a_n może być dowolnym ciągiem z przestrzeni Banacha.

DEFINICJA 18.1 ( SZEREG POTĘGOWY )

Szereg
nazywamy szeregiem potęgowym o środku x₀.

TWIERDZENIE 18.1 ( O ZBIEŻNOŚCI SZEREGU )

1Ⴐ Jeżeli szereg
jest zbieżny dla x = x₁ to szereg
jest zbieżny bezwzględnie w kole K (x₀, ცx₁ - x₀ყ) ;

2Ⴐ Jeżeli szereg
jest rozbieżny dla x = x₂ to szereg
jest rozbieżny w
(dopełnienie koła K (x₀, ცx₂ - x₀ყ) ;

Dowód:

Ad 1Ⴐ

Z założeń
jest zbieżny. Więc dla tego szeregu jest spełniony warunek konieczny
,

zatem
.

Niech: x ჎K (x₀, ცx₁ - x₀ყ) პ ცx - x₀ყ< ცx₁ - x₀ყ მ
.

Rozważmy:
(1);

Zauważmy, że
jest szeregiem geometrycznym o ilorazie
, a z tego wynika, że szereg geometryczny jest zbieżny. (2);

Z (1) i (2) na podstawie I kryterium porównawczego szereg
jest bezwzględnie zbieżny.

Ad 2Ⴐ (nie wprost)

Hipoteza:
i
jest zbieżny პ na podstawie 1Ⴐ części dowodu :
szereg

jest zbieżny (3);

Z założeń hipotezy
(4);

Z (1) i (2) wynika, że
jest zbieżny,

co jest sprzeczne z założeniami.

DEFINICJA 18.2 ( PROMIEŃ ZBIEŻNOŚCI SZEREGU POTĘGOWEGO )

Niech : Z = { x჎K :
- zbieżny}

Wówczas :

- promień zbieżności szeregu potęgowego;

K(x₀, R) - koło zbieżności szeregu potęgowego;

K(x₀,R) = { x჎K : Ⴝx-x₀Ⴝ < R };

TWIERDZENIE 18.2 ( WŁASNOŚCI SZEREGU POTĘGOWEGO )

Z: R - promień zbieżności szeregu

T:
jest zbieżny bezwzględnie i niemal jednostajnie w K(x₀,R).

Dowód:

jest zbieżny bezwzględnie w K(x₀,R) ნ Tw. 18.1 (największe koło, w którym jest zbieżny);

jest zbieżny niemal jednostajnie w K(x₀,R) მ

მ
jest zbieżny jednostajnie w A;

Ponieważ
oraz szereg
jest zbieżny zatem na podstawie kryterium Weierstrassa szereg
jest zbieżny jednostajnie
w A. A - dowolny, więc
jest niemal jednostajnie zbieżny K(x₀,R)

Podsumowanie:

Jeśli R - promień zbieżności szeregu
, to:

1Ⴐ
jest zbieżny bezwzględnie i niemal jednostajnie w K(x₀,R) ;

2Ⴐ
jest rozbieżny w
;

WNIOSEK 18.1

Jeżeli : f(x) =
dla x ჎ K(x₀,R) ;

to f ჎ C ( K(x₀,R) ) - suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą w swoim kole zbieżności K(x₀,R).

TWIERDZENIE 18.3 ( O PROMIENIU ZBIEŻNOŚCI )

Z:
; R - promień zbieżności szeregu
;

T:

Dowód

Z kryterium d'Alamberta :

1Ⴐ 0<ၬ<+Ⴅ

Ponieważ szereg jest zbieżny bezwzględnie i niemal jednostajnie dla
, a rozbieżny dla
, więc
.

2Ⴐ ၬ = 0

Ⴝx-x₀Ⴝၬ = 0 < 1 dla każdego x჎K.

Na podstawie kryterium d'Alamberta, szereg
jest zbieżny bezwzględnie i niemal jednostajnie na całym K, a to oznacza, że R = +Ⴅ.

3Ⴐ ၬ = +Ⴅ

Ⴝx-x₀Ⴝၬ = +Ⴅ > 1 dla każdego x჎K \ {x₀}.

Na podstawie kryterium d'Alamberta, szereg
jest rozbieżny dla każdego x჎K \ {x₀} , więc R = 0.

TWIERDZENIE 18.4 ( O PROMIENIU ZBIEŻNOŚCI )

Z: R - promień zbieżności szeregu
;
;

T:

Dowód :

Z kryterium Cauchy'ego

1Ⴐ 0<ၬ<+Ⴅ

Szereg jest rozbieżny dla
; jeśli
szereg
jest zbieżny bezwzględnie i niemal jednostajnie, więc
.

2Ⴐ ၬ = 0

Ⴝx-x₀Ⴝၬ = 0 < 1 dla każdego x჎K.

Szereg
jest zbieżny bezwzględnie i niemal jednostajnie na całym K, a to oznacza, że R = +Ⴅ.

3Ⴐ ၬ = +Ⴅ

Ⴝx - x₀Ⴝၬ = +Ⴅ > 1 dla każdego x჎K \ {x₀}.

Szereg
jest rozbieżny dla każdego x჎K \ {x₀} ,

a zatem R = 0.

TWIERDZENIE 18.5 ( WŁASNOŚCI SZEREGU POTĘGOWEGO )

Z: R - promień zbieżności szeregu

f(x) =
dla x ჎ K(x₀,R) ;

T: 1Ⴐ funkcja f jest ciągła w K(x₀,R) ;

2Ⴐ funkcja f jest różniczkowalna w K(x₀,R) oraz

;

3Ⴐ funkcja
; f^(k) (x₀) = k! a_k .

Dowód :

1Ⴐ Wniosek 18.1

2Ⴐ Żeby różniczkować wyraz po wyrazie szereg pochodnych musi być niemal jednostajnie zbieżny. Wystarczy pokazać, że r - promień zbieżności szeregu
jest równy R - promieniowi zbieżności szeregu
;

liczymy λ dla szeregu pochodnych :

⇒

⇒ promień zbieżności
wynosi R ⇒
jest zbieżny niemal jednostajnie w K(x₀,R) i wolno różniczkować wyraz po wyrazie.

f'(x) = (
)' =

3Ⴐ Niech b_n = n⋅a_n wówczas

f'(x) =
- szereg potęgowy o promieniu zbieżności R ;

To, że możemy różniczkować wyraz po wyrazie zostało udowodnione w 2Ⴐ

f''(x) =
=
- szereg potęgowy o promieniu zbieżności R, a zatem:

- szereg potęgowy o promieniu zbieżności R.

Skoro istnieje dowolna pochodna, funkcja jest klasy C^∞ w K(x₀,R).

Można zauważyć, że f^(k) (x₀) = k! ⋅ a_k , bo x nie występuje tylko w k-tym wyrazie.

Przypomnienie: ( WZÓR TAYLORA )

Z: Jeżeli f∈Cⁿ⁺¹ (U) ; U∈ot (x₀) ; f : R→R ; x∈U

T:
;

gdzie
, reszta Lagrange'a w rozwinięciu funkcji.

TWIERDZENIE 18.6 ( SZEREG TAYLORA )

Z: f∈C^∞(U) ; U∈ot (x₀) ; f : R→R ;
.

T:
- szereg Taylora

(rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy);

Jeżeli x₀ = 0 w Tw. 18.6 i są spełnione wszystkie założenia, wtedy :

- szereg MacLaurina.