Opracowanie: Krzysztof Trąbiński

Wykład 24

Twierdzenie 24.1 (o zamianie zmiennych)

Z:
, A - mierzalny w sensie Lebesque'a

- izomorfizm (
)

,f - całkowalna

T:

Przykład 23.3 c.d.

Obliczyć
, gdzie

Wprowadzamy współrzędne walcowe:

• Współrzędne walcowe uogólnione:

Interpretacja geometryczna współrzędnych walcowych :

• Współrzędne sferyczne:

Wówczas otrzymujemy:

Ostatecznie współrzędne sferyczne mają postać:

• Współrzędne sferyczne uogólnione:

Przykład 24.1

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

Wprowadzamy współrzędne sferyczne uogólnione:

Szukamy równania elipsoidy we współrzędnych sferycznych uogólnionych:

A zatem otrzymujemy:

Stosujemy przekształcenie

Po zastosowaniu powyższego przekształcenia stożek eliptyczny będzie zwykłym stożkiem, którego tworząca jest nachylona pod kątem 45˚ do płaszczyzny XOY.

Przykład 24.2

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią:

Wprowadzamy współrzędne sferyczne uogólnione:

Z warunku
wyznaczamy granice całkowania:

=

x

y

z

φ

(x,y,0)

P(x,y,z)

z

x

y

y

x

z

P(x,y,z)

(x,y,0)

φ

θ

r

r

y

z

B x

B x

x

z

H

y

H

B x

z

y

y

z

b