Wyklad24, Psychologia, biologia, Matematyka


Opracowanie: Krzysztof Trąbiński

Wykład 24

Twierdzenie 24.1 (o zamianie zmiennych)

Z: 0x01 graphic
, A - mierzalny w sensie Lebesque'a

0x01 graphic
- izomorfizm (0x01 graphic
)

0x01 graphic
,f - całkowalna

T:0x01 graphic

Przykład 23.3 c.d.

Obliczyć 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

Wprowadzamy współrzędne walcowe:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Interpretacja geometryczna współrzędnych walcowych :

0x08 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Wówczas otrzymujemy:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Ostatecznie współrzędne sferyczne mają postać:

0x01 graphic

0x01 graphic

Przykład 24.1

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

Wprowadzamy współrzędne sferyczne uogólnione:

0x01 graphic

Szukamy równania elipsoidy we współrzędnych sferycznych uogólnionych:

0x01 graphic

0x01 graphic

A zatem otrzymujemy:

0x01 graphic

Stosujemy przekształcenie

0x01 graphic

Po zastosowaniu powyższego przekształcenia stożek eliptyczny będzie zwykłym stożkiem, którego tworząca jest nachylona pod kątem 45˚ do płaszczyzny XOY.

0x01 graphic

Przykład 24.2

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią:

0x01 graphic

Wprowadzamy współrzędne sferyczne uogólnione:

0x01 graphic

0x01 graphic

Z warunku 0x01 graphic
wyznaczamy granice całkowania:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
=0x01 graphic

0x01 graphic

x

y

z

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

φ

(x,y,0)

P(x,y,z)

z

x

y

y

x

z

P(x,y,z)

(x,y,0)

φ

θ

r

r

0x01 graphic

y

0x01 graphic

0x01 graphic

z

0x01 graphic

B x

B x

x

z

H

y

H

B x

z

y

0x01 graphic

y

0x01 graphic

0x01 graphic

z

0x01 graphic

0x01 graphic

b



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wyklad25, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad22, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad14, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad26, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad18, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad28, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad23, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad27, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad11, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad15, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad21, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad4(1), Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad8(1), Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad17, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad2(1), Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad12(1), Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad5, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad1ALG2001a, Psychologia, biologia, Matematyka
Wyklad20, Psychologia, biologia, Matematyka

więcej podobnych podstron