Opracowanie: Krzysztof Trąbiński
Wykład 24
Twierdzenie 24.1 (o zamianie zmiennych)
Z:
, A - mierzalny w sensie Lebesque'a
- izomorfizm (
)
,f - całkowalna
T:
Przykład 23.3 c.d.
Obliczyć
, gdzie
Wprowadzamy współrzędne walcowe:
Współrzędne walcowe uogólnione:
Interpretacja geometryczna współrzędnych walcowych :
Współrzędne sferyczne:
Wówczas otrzymujemy:
Ostatecznie współrzędne sferyczne mają postać:
Współrzędne sferyczne uogólnione:
Przykład 24.1
Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
Wprowadzamy współrzędne sferyczne uogólnione:
Szukamy równania elipsoidy we współrzędnych sferycznych uogólnionych:
A zatem otrzymujemy:
Stosujemy przekształcenie
Po zastosowaniu powyższego przekształcenia stożek eliptyczny będzie zwykłym stożkiem, którego tworząca jest nachylona pod kątem 45˚ do płaszczyzny XOY.
Przykład 24.2
Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią:
Wprowadzamy współrzędne sferyczne uogólnione:
Z warunku
wyznaczamy granice całkowania:
=
x
y
z
φ
(x,y,0)
P(x,y,z)
z
x
y
y
x
z
P(x,y,z)
(x,y,0)
φ
θ
r
r
y
z
B x
B x
x
z
H
y
H
B x
z
y
y
z
b