CCF20090514053

210

III. typy nauk i Ich odmienności metodologiczne

Czyli umysł ludzki, zamiast podporządkowywać się obiektywnie obowiązującym normom poprawności rozumowania, podnosi swoje nawyki postępowania do rangi powszechnie obowiązującej normy. Te normy z kolei są rzutowane na całą naukę, bo logika jest narzędziem jej budowania. Tego rodzaju stanowisko, wedle którego źródłem prawomocności nauki są właściwości ludzkiego umysłu, czyli ludzkiej psychiki, nazywa się psychologizmem. Gdyby jakieś inny gatunek, dajmy na to - ufoludki, rozwinął naukę podporządkowaną innej logice, odzwierciedlającej funkcjonowanie ich umysłów, i gdyby te ufoludki również stały na stanowisku psychologizmu, daremne byłyby próby nawiązania z nimi owocnej współpracy naukowej. Psychologizm prowadzi zatem do relatywizmu gatunkowego albo, alternatywnie, do antropocentryzmu: uznania ludzkiej perspektywy za jedyną ważną. Tymczasem dążenie do przekroczenia biologicznych ograniczeń ludzkiego poznania jest jedną z istotnych cech nauki².

Przeciwstawiając się psychologizmowi, empiryzm logiczny przyjął stanowisko formalizmu, uznając zarazem matematykę i logikę nie za dyscypliny naukowe, lecz jedynie za narzędzia nauki (por. rozdz. II, p. 1). Jednak to, że matematyka i logika są narzędziami nauki, niekoniecznie wyklucza je z listy dyscyplin naukowych. W starożytności ówczesne zalążki nauk empirycznych zaliczano do techniki, matematykę zaś uważano za jedyną autentyczną naukę³. Kartezjusz, poszukując metody nauk przyrodniczych, upatrywał w matematyce wzorzec wszelkiego poznania. Matematyka zawdzięcza te awanse poczuciu pewności, które towarzyszy jej wynikom. Koło Wiedeńskie wprawdzie odmawiało matematyce statusu nauki, ale za to uznało metamatematykę za wzorzec metodologii nauki. Tutaj postąpię odwrotnie. Spróbuję naszkicować pewien projekt metodologii matematyki na wzór metodologii nauki w ujęciu tu rozwijanym. Z tej perspektywy metamatematyka przedstawia wysoce wyidealizowany obraz matematyki. Uchylając niektóre z tych idealizacji, będziemy mieli okazję stwierdzić, że choć matematyka nie posługuje się eksperymentem, to status poznawczy jej twierdzeń jest o wiele bardziej hipotetyczny, niż się zazwyczaj wydaje. ^{1 2}

1. Nauki dedukcyjne i empiryczne

211

tllstoila

matenmt)

potlwa/a

oblniowy

na temat,

aksjomat)

Że teoria matematyczna jest systemem aksjomatyczno-deduk-' cyjnym, to jest zbiorem twierdzeń dedukcyjnie wyprowadzonych ze zdań pewnego skończonego zbioru zdań zwanych aksjomatami, jest prawdą obiegową. A to znaczy, że niekoniecznie całą i tylko prawdą. Nic należy sobie wyobrażać, jak Kartezjusz i Spinoza, że teorię rozwija się lub że powinno się ją rozwijać, wpierw ustalając aksjomaty, by potem wywodzić z nich twierdzenia, jedno po drugim. Zanim powstał system geometrii Euklidesa z Aleksandrii (ok. 300 p.n.e.), znano już najbardziej interesujące jego twier dzenia, na przykład twierdzenie Talesa czy Pitagorasa³. Skądinąd system Euklidesa był mocno niekompletny: dowody twierdzeń były entymematyczne, to znaczy korzystały z nieujawnionych przesłanek, które nie wynikały z postulatów (czyli aksjomatów). Arytmetyka liczb naturalnych doczekała się aksjomatyzacji dopiero w XIX wieku. Aksjomaty rachunku prawdopodobieństwa są znacznie młodsze od twierdzenia Bayesa. Wiele teorii matematycznych do dziś nie jest zaksjomatyzowanych. Można śmiało powiedzieć, że najpierw powstają teorie - w sensie zespołów problemów i twierdzeń, nie w sensie metamatematycznym - a dopiero potem, jeżeli kiedykolwiek, dobiera się dla nich odpowiedni układ aksjomatów. Pytanie: po co?

Uformowanie się teorii poprzedza pojawienie się problemów i twierdzeń, traktowanych zrazu jako problemy i twierdzenia teorii już istniejących. Dopiero na pewnym poziomie zaawansowania rozwijająca się problematyka zaczyna się wyodrębniać i osiąga status nowej teorii. Pouczającym przykładem w tej mierze jest historia geometrii rzutowej. Jej twierdzenia znajdowano już w Odrodzeniu, w związku z zagadnieniami perspektywy malarskiej. Traktowano je jednak jako twierdzenia geometrii eu-klidcsowcj, innej zresztą wtedy nie znano. Wprowadzony przez Keplera w 1602 roku nieeuklidesowy wtręt, pojęcie „punktu w nieskończoności”, uważano za niewinną sztuczkę. Dopiero prace Feliksa Kleina (1871, 1873) doprowadziły do wyodrębnienia

¹ Zob. Z. Piątek, Aspekty antropocentryzmu, Kraków 1988.

Włączając do niej muzykę, astronomię i harmonikę.

Choć nie wiadomo, czy w tej formie, w jakiej znajdują się w Elementach Euklidesa. Kwestie autorstwa starożytnych wynalazków są mocno zawiklane z uwagi na panujący w tych czasach, a dziś zupełnie egzotyczny, zwyczaj przypisywania własnych pomysłów swoim nauczycielom albo innym sławnym mężom przeszłości.