CCF20090514055

214

III. typy nauk i ich odmienności metodologiczne

stronicowe dowody, po kilkunastu lub więcej latach, trafiają do podręczników akademickich w wersji półstronicowej. Skutkiem tego ocena prawomocności dowodu jest bardziej kwestią intuicji i treningu zawodowego niż formalnej kontroli.

Do określenia dziedziny teorii zamiast aksjomatyzacji często wystarczy odpowiednie zdefiniowanie jej charakterystycznych pojęć, „terminów teoretycznych”. Przykładem może być przełomowe dla dziedziny analizy matematycznej zdefiniowanie pojęcia granicy metodą cpsilonowo-deltową przez Cauchy'ego (1820). Pozwoliło ono wyeliminować siedemnastowieczne pojęcia „nieskończenie malej” Leibniza i „fluksji" Newtona, skonstruowane tak, jak gdyby odnosiły się do elementów uniwersum dziedziny, które nie mogą istnieć, jeżeli tym uniwersum ma być zbiór liczb rzeczywistych. Tego rodzaju wynalazki pojęciowe na równi z aksjomatyzacją podnoszą ścisłość dowodów matematycznych, skądinąd odległą od ścisłości formalnej¹. Wymóg ścisłości nie jest absolutny: pożądany jej poziom zależy od potrzeb teoretycznych, podobnie jak proporcje idealizacji i faktualizacji w naukach empirycznych.

David Hilbert (1862-1943), niemiecki matematyk. Przeciwnik logicyzmu, głosił konieczność stosowania w matematyce metod finity-stycznych. Autor programu badań, zwanego programem Hilberta, którego pierwszym etapem miała być formalizacja matematyki, czyli uczynienie jej twierdzeń niezależnymi od ich treści. Załamanie się jego programu związane było z wynikami Godła.

Jak od teorii empirycznych wymaga się, by dostarczały środków ^s 1,1/1 c/nosa do trafnych przewidywań zjawisk, tak od teorii matematycznych żąda się, by były niesprzeczne. Zadaniem sformułowanej przez Hilberta teorii dowodu (por. rozdz. II, p. 1) miała być (formalna) rekonstrukcja teorii matematycznych w celu wykazania ich niesprzeczności. Program Hilberta załamał się skutkiem odkrycia Godła (1930), że dowodu niesprzeczności odpowiednio bogatej teorii sformalizowanej (zawierającej arytmetykę liczb naturalnych) nie da się przeprowadzić środkami, które by nie zakładały środków samej tej teorii (zdanie wyrażające niesprzeczność tej teorii nie jest dowodliwe w żadnym systemie, który nie jest od niej mocniejszy). Krótko mówiąc, dowód taki wymagałby zręczności barona Munchhausena².

1. Nauki dedukcyjne i empiryczne

215

Możliwe są natomiast względne dowody niesprzeczności, to jest dowody niesprzeczności jednej teorii przy założeniu, że jakaś inna teoria jest niesprzeczna. Stosuje się do tego inne twierdzenie Godła, z którego wynika, że każda teoria niesprzeczna ma model. W szczególności model teorii T można uzyskać drogą jej interpretacji za pomocą pojęć innej teorii, T’ (pojęcia modelu i interpretacji były przedstawione w rozdz. II, p. 8). Wówczas, jeżeli aksjomaty teorii T są prawdziwe w tak skonstruowanym modelu i jeżeli T’jest niesprzeczna, T jest również niesprzeczna. Na tej zasadzie można na przykład udowodnić, że jeżeli geometria euklidesowa jest niesprzeczna, to geometrie nieeuklidesowe też są niesprzeczne³. Podobnie, metoda analityczna geometrii gwarantuje jej niesprzeczność, o ile elementarna algebra jest niesprzeczna. Za pomocą konstrukcji teoriomnogościowych można z liczb naturalnych skonstruować krok po kroku liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone, kwa-terniony i tak dalej⁴. Konstrukcje te zarazem gwarantują niesprzeczność odpowiednich arytmetyk, jeżeli niesprzeczne są teoria mnogości i arytmetyka liczb naturalnych.

Tego rodzaju konstrukcje dookreślają dziedzinę teorii interpretowanej i wzmacniają hipotezę ojej niesprzeczności - ale nic mają

1

   Por. P Kitcher, The Naturę of’ Mathematical Knowledge, dz. cyt., rozdz. 10.

2

   Bohater zbioru przygodowych opowiadań G.A. Burgera, Przygody barona Munchhausena, tłum. H. Januszewska, Poznań 1997 (pierwodruk oryginału 1785), który między innymi wyciągnął sam siebie z błota, ciągnąc się za włosy.

3

   Prosty dwuwymiarowy euklidesowy model geometrii Łobae/.ewskiego można uzyskać, interpretując termin „płaszczyzna" jako wnętrze pewnego okręgu (euklideso-wego), termin „prosta" jako luk ortogonalny w tym okręgu, termin „punkt" jako punkt wewnętrzny tego okręgu i definiując „odległość” między punktami na przykład za pomocą funkcji logarytmicznej, lak aby dążyła do nieskończoności, gdy jeden z punktów zbliża się do brzegu okręgu. Łatwo pokazać, że przy takiej „odległości” „punkty”, „proste" i „płaszczyzna” spełniają aksjomaty geometrii Łobaczewskicgo.

Alternatywnie, względny dowód niesprzeczności można przeprowadzić czysto syntaktycznie (tzn. bez pojęcia modelu i prawdy). W tym celu terminy badanej teorii T należy zdefiniować za pomocą terminów teorii T’ (z założenia niesprzeczncj), a następnie sprawdzić, czy zdania języka teorii T’ powstałe przez podstawienia definicyjne z aksjomatów teorii T są twierdzeniami teorii T'.

4

   Naszkicuję konstrukcję liczby całkowitej. Weźmy pod uwagę zbiór par liczb naturalnych N x NI z określoną na nim relacją równoważnościową R: <a, b> R(c, d) «-* a + <1 = b + c. Niech [a, b] będzie zbiorem wszystkich par równoważnych <a, b> : [a, b] = {<.v, y> : <.v, y> R(n, i)}. [«, /;] jest zdefiniowaną przez abstrakcję (por. rozdz. II, p. 2) liczbą całkowitą. Kto nie wierzy, niech czyta: [a, b\ = a - b, gdy a > b, [«, //) = -(/;- a), w przeciwnym przypadku. Działania w tak zdefiniowanym zbiorze liczb całkowitych można zdefiniować za pomocą działań na liczbach naturalnych: («, b] + [c, </] = [«+ c, b + d]\ [a, b] • [c, d] = [ac + bd, ad + be]. Podobnie konstruuje się liczby wymierne z liczb całkowitych oraz liczby zespolone z rzeczywistych. Konstrukcja liczb rzeczywistych z wymiernych jest trochę bardziej skomplikowana.