CCF20090514056

216

III. Typy nauk i ich odmienności metodologiczne

mocy bezwzględnego dowodu. Interpretacje teorii sprzyjają też jej rozwojowi, zwiększając zasób środków dowodowych. Gdy trudno znaleźć dowód jakiegoś twierdzenia teorii T,, można je zinterpretować w teorii T₂ i następnie udowodnić jej środkami. Elementarnym przykładem takiej procedury jest dowodzenie twierdzeń geometrycznych środkami analitycznymi. Przykładem bardzo wyrafinowanym jest topologia algebraiczna, w której dowodzi się twierdzeń topologii środkami algebry za pomocą interpretacji zbudowanej środkami teorii kategorii i funktorów. Wiarygodność tych metod zależy jednak od hipotetycznej nicsprzcczności teorii interpretującej.

Prócz związków interpretacji między dziedzinami matematycznymi (i ich teoriami) może występować związek polegający na tym, że jedna jest uogólnieniem drugiej. Przykładem może być uogólniona geometria Riemanna (1853). Jest to teoria przestrzeni, w której dla każdego punktu określona jest wielkość skalarna zwana krzywizną. Gdy krzywizna jest stała, to znaczy taka sama dla każdego punktu przestrzeni, otrzymujemy przestrzeń euklidesową (kiedy krzywizna wynosi zero) lub jedną z przestrzeni nieeuklidesowych (w pozostałych przypadkach). Ta relacja między teoriami matematycznymi przypomina nieco relację idealizacji/faktualizacji między sformułowaniami prawa nauki.

ani grupy Bourbaki: tematyka ko nauka ’ukturacli teorio-iściowych

Logicyzm: n redukcji nacyki do logiki

Modele teorii matematycznych buduje się zazwyczaj środkami teorii mnogości. Przybierają one formę struktur, to jest ciągów złożonych ze zbiorów i relacji, między którymi mogą zachodzić wielorakie związki. Teorie takich struktur często są abstrakcyjnymi uogólnieniami innych teorii, w sensie poprzedniego akapitu. Stąd grupa Bourbaki¹³ uznała, że przedmiotem matematyki w ogóle są struktury, o czym wspominałem w rozdziale II, p. 1. Nie wchodząc w szczegóły, które by nas zaprowadziły w bardzo abstrakcyjne rejony, można powiedzieć, że program grupy Bourbaki jest umiarkowaną wersją redukcjonizmu w filozofii matematyki. Bardziej skrajny był program Fregego (1893-1903) i Russella (1903-1910), zwany logicy-zmem, którego celem była redukcja matematyki do logiki. Program się nie powiódł: okazało się, że domniemana redukcja matematyki ¹

1. Nauki dedukcyjne i empiryczne

Z 1/

do logiki nie może się obejść bez pozalogicznych założeń. Niemniej liczne idee rozwinięte w ramach tego programu, jak na przykład pomysł konstruowania dziedzin teorii za pomocą definicji przez abstrakcję, stały się trwałym elementem kultury matematycznej.

System Frcgego zawierał błąd wykryty przez Russella i nazwany paradoksem jego imienia. Russell usunął ten paradoks w swoim systemie za pomocą aksjomatów, które miały pewne niepożądane, a przynajmniej mocno kontrowersyjne konsekwencje. W reakcji niektórzy filozofowie, między innymi twórcy tak zwanego intuicjonizmu, Brouwer^{2 3} i Heyting¹, zakwestionowali prawomocność środków dowodowych stosowanych w matematyce. Uznali, że jeśli nawet na razie udało się wykluczyć paradoks Russella, nie można wykluczyć pojawienia się kolejnych paradoksów. Intuicjonizm upatrywał gwarancji w dopuszczeniu wyłącznie dowodów konstruktywnych, to jest polegających na skonstruowaniu pewnego obiektu matematycznego, na przykład rozwiązaniu równania. W szczególności nie dopuszczał dowodów nie wprost. Ich zdaniem, wyprowadzenie sprzeczności z założenia, że przedmiot o określonych własnościach nie istnieje, nie dowodzi, że on istnieje. Na przykład wyprowadzenie sprzeczności z założenia, że jakieś równanie nic ma rozwiązania, nie dowodzi, że ma ono rozwiązanie. Trzeba jeszcze przedmiot o żądanych własnościach skonstruować, na przykład znaleźć domniemane rozwiązanie równania lub przynajmniej metodę uzyskania jego rozwiązania.

Intuicjonizm prowadzi do rewizji logiki klasycznej: odrzuca zasadę wyłączonego środka (p v ->p). Co więcej, wiele rezultatów klasycznej matematyki jest z punktu widzenia intuicjonizmu nie do przyjęcia. W szczególności o wielu równaniach, których nie umiemy rozwiązać, można metodami klasycznymi (nic wprost) udowodnić, że mają rozwiązanie. Dowód taki daje podstawy i środki rachunkowe do poszukiwania rozwiązań przybliżonych. Zadziwiająca skuteczność metod matematycznych w nauce, w tym metod przybliżonych, podnosi ich wiarygodność. Tymczasem z punktu widzenia intuicjonizmu, dopóki nie umiemy równania rozwiązać wprost (albo wykazać, że rozwiązania nie istnieją), trzeba zawiesić sąd na

1

Nicolas Bourbaki jest pseudonimem elitarnej grupy matematyków francuskich, od lat trzydziestych publikującej monograficzne opracowania podstaw kolejnych działów matematyki.

2

   Zob. L.E.J. Brouwer, Overde Grondslageti der Wiskunde, Amsterdam 1907.

3

   Zob. A. Heyting, Die fonnalen Regeln der intuilionistichen Logik, w: tenże, Sitzungsberichte der Preussische Akademie der Wissenschaftert, Berlin 1930.