CCF20090514057

218

lll. typy nauk i ich odmienności metodologiczne

temat jego rozwiązań. Toteż za bezpieczeństwo dowodów intuicjoni-stycznych trzeba zapłacić wysoką cenę. Wydaje się, że zamiast rezygnować z wielu wartościowych wyników, lepiej jest stosować bardziej ryzykowne środki dowodowe i pogodzić się z hipotetyczną naturą matematyki¹. Tym bardziej że nie ma jednomyślności co do tego, które środki dowodowe dają rzeczywiste gwarancje: intuicjonizm i kierunki z nim spokrewnione dzielą poważne różnice zdań w tej sprawie. Tak czy owak, im bezpieczniejsze metody, tym mniej można nimi osiągnąć (por. pogląd Jamesa wspomniany w rozdz. I, p. 1.).

Problemy

związane

'owadami

cerowymi

Jeszcze bardziej do nauk empirycznych zbliża matematykę coraz szersze upowszechnienie dowodów komputerowych. Do niepewności dowodu w ogóle dochodzi zwiększone ryzyko naturalnej zawodności ludzkiego umysłu. Błąd człowieka w dowodzie może, choć nieraz z ogromnym trudem, naprawić inny człowiek. Dowody komputerowe natomiast stosuje się do zagadnień, których rozwiązanie człowiekowi zajęłoby tysiące lat. Toteż sprawdzenie dowodu komputerowego można powierzyć tylko komputerowi. Komputery wprawdzie się nie mylą, ale mylą się programiści. Niezwykle trudny do wykrycia błąd programu może skutkować niewykrywalnym błędem dowodu komputerowego. Toteż status poznawczy dowodów komputerowych jest obecnie przedmiotem dyskusji dalekiej od rozstrzygnięcia.

Pluralizm

lologiczny

icemacyce

Nie jest wcale oczywiste, czy kwestię przeprowadzenia linii demarkacyjnej między wiarygodnymi a wątpliwymi środkami dowodowymi trzeba stawiać na zasadzie albo-albo. Można bowiem z powodzeniem przyjąć pluralizm metod dowodowych, przypisując twierdzeniom różne stopnie wiarygodności w zależności od rodzaju dowodu. Wydaje się, że praktyka matematyczna sankcjonuje takie podejście w takiej mierze, w jakiej przedstawienie konstruktywnego dowodu twierdzenia, które wcześniej miało tylko dowód nickon-struktywny, uchodzi za postęp, chociaż już samo znalezienie dowodu, nie- lub konstruktywnego, jest wystarczająco wartościowym wynikiem.

1. Nauki dedukcyjne i empiryczne

219

Podobieństwa metodologiczne między matematyką a naukami empirycznymi przyczyniają się do odnowy empiryzmu w filozof ii matematyki. Jednym z wymienionych wcześniej filozofów o takim nastawieniu był Lakatos². Bardziej konsekwentnym empirystą jest Philip Kitcher³. W jego ujęciu matematyka jest nauką o umysłowych reprezentacjach możliwych manipulacji przedmiotami przez idealny podmiot, to jest podmiot o nieograniczonych silach i wytrwałości. Manipulacje, o których mowa, to przede wszystkim grupowanie i porządkowanie (w tym porównywanie, czyli pomiar). Reszta jest kwestią abstrakcji. Myślę, że ten pogląd wyjaśnia omówione wyżej aspekty badania matematycznego. Wyjaśnia również, dlaczego matematyka może być narzędziem nauk empirycznych. Postępowanie matematyki w kierunku coraz większej abstrakcji i ogólności dostarcza nauce coraz bogatszych środków wyrazu. Nie wszystkie mają zastosowanie w naukach empirycznych, co w niczym jej nie uwłacza. Wicie problemów teoretycznych matematyki rozważa się ze względu na zastosowania w samej matematyce, podobnie jak w naukach empirycznych rozwiązania problemów teoretycznych w jednej dziedzinie mogą mieć zastosowanie do rozwiązania problemów identyfikacji innej dziedziny (por. rozdz. II, p. 10, 11). Między innymi dlatego matematyka jest nie tylko narzędziem nauk empirycznych, ale sama jest nauką.

Wspomniałem wyżej, że nazywanie matematyki nauką formalną jest pewnym nieporozumieniem. Powstało ono zapewne pod wpływem redukcjonizmu, z punktu widzenia którego matematyka jest zwykłym przedłużeniem logiki. Logika zaś jest nauką formalną w tym sensie, że jej przedmiotem są formalne własności rozumowania dedukcyjnego, to jest własności niezależne od treści przesłanek i wniosków. Jeżeli o matematyce powiedzieliśmy, za Kitcherem, że jest nauką o umysłowych reprezentacjach pewnego rodzaju możliwych manipulacji na przedmiotach - reprezentacjach, które abstrahują od natury czy własności przedmiotów - o logice można by zaryzykować twierdzenie, że jest nauką o pewnego rodzaju możliwych manipulacjach na wyrażeniach językowych, która abstrahuje

1

Podobny pogląd w stosunku do wyboru aksjomatów wyraża slogan P. Maddy. który sformułowała w Wierząc w aksjomaty: „zatrzymać się o krok przed katastrofą" - to znaczy należy akceptować jak najmocniejsze (a tym samym jak najbardziej ryzykowne) aksjomaty, jakie się da bez doprowadzania do sprzeczności („o krok dalej" powstałaby sprzeczność).

2

Zob. I. Lakatos, Proofs and Refutations, Cambridge 1976; tenże, A Renaissance of Empiricism in the Recenl Philosophy of Mathematics, w: tenże, Philosophical Papers, t. 2, red. J. Worrall, G. Currie, Cambridge 1978.

3

^ls Zob. P. Kitcher, The Naturę of Matliematical Knowledge, dz. cyt.