CCF20090514054

212

lll. typy nauk i Ich odmienności metodologiczne

geometrii rzutowej jako odmiany geometrii nieeuklidesowej, a jej aksjomaty sformułowano w następnej dekadzie¹.

Analogia /różnienia ksjomaty-ril/cnia do •/różnienia rwacyjne-yc/ne: mit zywistości tsjomatów

Wobec powyższego za 17zykuję tezę, że funkcją aksjomatyzacji w matematyce jest określenie dziedziny jej teorii, dziedziny w sensie analogicznym do rozważanego w rozdziale II, p. 10. Zwłaszcza że aksjomaty często uważa się za uwikłane definicje pojęć pierwotnych teorii (definicje przez postulaty - por. rozdz. II, p. 2), pojęć pełniących w matematyce funkcję analogiczną do terminów „obserwacyjnych” teorii naukowych². Dowód matematyczny można zaś uznać za odpowiednik „redukcji" twierdzeń („zdań teoretycznych") do aksjomatów (odpowiedników „zdań obserwacyjnych"). Analogię tę podkreśla przestarzały już - platońsko-kartezjańskiego rodowodu - pogląd, że aksjomaty akceptuje się jako oczywiste na podstawie intelektualnego „wglądu" czy Kaniowskiego „przedstawienia w czystej naoczności”, niejako umysłowej „obserwacji" niedostępnego zmysłom przedmiotu abstrakcyjnego. Ów „wgląd”, traktowano jako niezawodny, ale niezawodny nic dość dalekosiężny, by wystarczył do rozpoznania twierdzeń. Dlatego wymagano dla nich dowodów.

Mit oczywistości aksjomatów został podważony przez odkrycie geometrii nieeuklidesowych (1830) i rozwiał się ostatecznie pod wpływem prac Pcana, Poincarego, Hilberta (na przełomie XIX i XX wieku), na długo przed upadkiem (a nawet powstaniem) rozróżnienia obserwacyjne-teoretyczne w filozofii nauki. Decydująca o ich „uteoretyzowaniu", dziedzinotwórcza funkcja aksjomatów przejawia się między innymi w tym, że nadają one teoriom matematycznym abstrakcyjny charakter³, to znaczy określają dziedzinę teorii jako ogół przedmiotów spełniających aksjomaty, bez względu

1. Nauki dedukcyjne i empiryczne

213

na „rzeczywistą" naturę tych przedmiotów, niedostępną ani zmysłom, ' ani intelektualnej intuicji.

Dopóki dziedzina teorii nie zostanie wyraźnie określona, jej twierdzenia są błędnie zaliczane do innej dziedziny, co zniekształca ich treść, tak jak w przypadku twierdzeń geometrii rzutowej. Czasami w ogóle nie są traktowane jako twierdzenia, jak przydarzyło się to wynalazkom Saccheriego powstałym przy okazji poszukiwania dowodu nie wprost piątego postulatu Euklidesa. Girolamo Sacche-ri (1733) z pozostałych czterech postulatów i negacji piątego wyprowadził kilka twierdzeń geometrii Łobaczewskiego. Odrzucił je jako „absurdalne", mimo że nic stwierdził żadnej sprzeczności między nimi a czterema pierwszymi postulatami Euklidesa⁴. Uzyskane przez niego wyniki można było zaakceptować dopiero po określeniu dziedziny geometrii nieeuklidesowych.

ItowOil fo Jako Idea i dowodu w neciy\ piakiyw motemai,

Abstrakcyjny charakter teorii, który nadają jej aksjomaty, bywa nazywany formalnym. Pozwala bowiem na rozpatrywanie twierdzeń nie ze względu na ich treść, lecz ze względu na związki ich formalnej budowy (kształtów napisów) z formalną budową aksjomatów. Stąd wzięło się pojęcie dowodu formalnego (por. rozdz. II, p. 1). Dowody stosowane w matematyce są jednak bardzo odległe od formalistycz-nego ideału, nawet gdy teoria jest zaksjomatyzowana. Formalne reguły wnioskowania muszą być bardzo proste, by można było na pierwszy rzut oka rozstrzygnąć, czy kolejny krok dowodowy został przeprowadzony zgodnie z nimi (kolejna analogia do „obserwacji"). Takie reguły są niestety mało wydajne. Ich drobiazgowe przestrzeganie niesłychanie spowalniałoby postępy w dowodzeniu twierdzeń. Żeby ukończyć dowód w rozsądnym czasie, który dla nowo proponowanych twierdzeń wynosi kilka miesięcy lub lat, matematycy stosują radykalne skróty rozumowania. Dalszy rozwój teorii, dzięki odkrywaniu kolejnych związków między twierdzeniami i pojęciami teorii, przynosi skróty tych skrótów. W rezultacie pierwotnie stu-

W geometrii rzutowej każde dwie proste się przecinają. „Punkt w nieskończoności”, mówiąc obrazowo, jest dodanym do przestrzeni eukiidesowej (po jednym dla każdego kierunku) punktem przecięcia się prostych, które bez tego dodatku byłyby równoległe. Szczegóły historii i filozofii geometrii znakomicie opisuje Torctti (1978).

Można powiedzieć, że twierdzenia matematyczne są przed aksjomatami, jak hipotezy naukowe są przed obserwacją.

Interesujące ujęcie systematyzującej funkcji aksjomatów przedstawia P. Kitcher w The Naturę of Mathemalical Knowledge, Oxford 1984. Dzięki niej pewien zespół problemów matematycznych i ich rozwiązań zostaje wyraźnie wyodrębniony. Z kolei Pcnelope Maddy (Wierząc w aksjomaty, w: Współczesna filozofia matematyki, red. i tłum. R. Murawski, Warszawa 2002, pierwodruk oryginału 1988) analizuje różnorodne motywy' akceptacji (wyboru) aksjomatów, które - jak się zdaje - można zinterpretować jako zasady heurystyczne identyfikacji dziedziny teorii matematycznej.

^s Piąty postulat Euklidesa przez wieki próbowano udowodnić, ponieważ - w przeciwieństwie do pierwszych czterech - wydawał się nieoczywisty. Brzmiał on: jeżeli prosta przecinające dwie inne proste tworzy z nimi po jednej stronic kąty wewnętrzne (w sumie) mniejsze od dwóch kątów prostych, to te dwie proste, jeśli je przedłużyć, przetną się po tej stronie (prostej je przecinającej), po której znajdują się kąty (w sumie) mniejsze od dwóch kątów prostych (brr!). Zaprzeczając mu, Sacchcń uzyskał wnioski w rodzaju: suma kątów trójkąta jest mniejsza od dwóch kątów prostych, i to tym mniejsza, im większe jest pole trójkąta.