img036

80 II. Parametryczne lesty istotności

wartość pseudo!iczebności próby n. 7. kolei obliczamy wartość stal)styki

>t:, ro-

(2.7)

«: ⁿ2 . -    - , -

u =-=- -,    gdzie    a -1 -p;

\ n m_x';n_x i m₂in_z są wskaźnikami struktury uzyskanymi z obu prób. Powyższa statystyka ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H_n rozkład asymptotyczny ,V(0, 1). Z tablicy rozkładu normalnego A"(0, 1) odczytujemy taką krytyczną wartość w., dla danego z góry poziomu istotności a, aby P( U i > >łc,₁}=2. Jeżeli z porównania u z wartością krytyczną u_x otrzymamy nierówność u źu_z. to znaleźliśmy się w dwustronnym obszarze krytycznym, zatem hipotezę H<, należy wtedy odrzucić na korzyść jej hipotezy alternatywnej H_x. W przeciwnym przypadku, tzc. dla \u\<u_x , nic ma podstaw' do odrzucenia sprawdzanej hipotezy //$*

Uwaga. Podobnie jak w innych teslach istotności, gdy hipoteza alternatywna ma postać Hi : p_x <p₂, stosujemy w omawianym teście lewostronny obszar krytyczny, (zn, krytyczną wartość «_a odczytujemy z tablic tak, by P{U<u_x}-?. Gdy natomiast hipoteza alternatywna ma postać H_x : pi>Pi, stosujemy w lym teście prawostronny obszar krytyczny, tzn. wartość krytyczną u₃ odczytujemy z tablic tak. by P{U^u_x} = 'x.

Przykład. W celu sprawdzenia, czy zachorowalność na. gruźlicę jest w pewnym wojew'ództv;je taka sama w mieście jak i na wsi, pobrano z ludności wiejskiej i miejskiej dwie losowe próby, mianowicie z ludności miejskiej wylosowano «j = 1200 osób i otrzymano >n_x =40 chorych na gruźlicę, a z ludności wiejskiej wylosowano *2 = 1500 osób i otrzymano m₂=l00 osób chorych. Przyjmując poziom istotności a—0,05 należy' zweryfikować hipotezę o jednakowym procencie chorych na gruźlicę w mieście i na wsi w tym województwie.

Rozwiązanie. Z treści zadania wynika, że powyższy model nadaje się do jego rozwiązania. Ponieważ nie ma sugestii co do tego, który procent zachorowań Da wsi czy w znieście ma być większy, dlatego budujemy dwustronny obszar krytyczny. Formalnie pisząc, stawiamy hipotezę H_Q:p_x=p₂, wobec hipotezy alternatywnej    =tp₂, gdzie p_x i p_z oznaczają nieznane wskaźniki struktury- chorych na gruźlicę odpowiednio w populacji lud no ki miejskiej i wiejskiej.

Z prób obliczamy

-"-"■.^=0.033 -3,3?;, oraz

“ i

«r_:

lOt

=17773= 0 >067=6,7 %.

Z kolei obliczamy

P— -' -4^--0,052, skąd ę =0.942,

rt, -i-n,

oraz

n.n₂ _ 1200-1500 _ISOOO_^ -f ??. 1200 + róOO 27

W końcu ze wzoru {2.7) obliczamy

0,033 -0,067    -0.034

U--..........=_-C: -3.9.

V 0,0000739

Z tablicy rozkładu normalnego ,ViO, I) dJa dwustronnego obszaru krytycznego i przy przyjętym poziomie istotności c< -0,05 odczytujemy krytyczną wartość u_a=l,96. Z porównania wynika, że _:w| =3,9> 1.96 = »_a. a więc znaleźliśmy się w obszarze krytycznym, zatem hipotezę H_n odrzucamy. Nie można więc twierdzić, że w tym województwie jednakowa jest zachorowalność na gruźlicę na wsi i w mieście.

Zadania

2.51. Wysunięto przypuszczenie, żc jakość produkcji pewnego wyrobu po wprowadzeniu nowej, tańszej technologii, nie uległa zmianie. Wylosowano niezależnie 120 sziuk tego wyrobu pośród wyprodukowanych starą technologią i oirzymano 12 sztuk 2łych. Wśród wylosowanych 169 sztuk wyprodukowanych przy zastosowaniu nowej technologii było natomiast 29 sztuk złych. Na poziomic istotności a=0,05 sprawdzić hipotezę o jednakowych procentach braków przy produkcji obu metodami.