SWScan00062

110 Kontrakty terminowe i opcje

rynkowego. Określenie „dodatkowa stopa zwrotu" odnosi się w tym wypadku do różnicy pomiędzy stopą zwrotu z danego portfela a wolną od ryzyka stopą procentową. Jeśli fi = 1, wielkość stopy zwrotu z analizowanego portfela akcji odzwierciedla wielkość stopy zwrotu z portfela rynkowego; dla = 2 dodatkowa stopa zwrotu z danego portfela jest dwukrotnie wyższa od dodatkowej stopy zwrotu z portfela rynkowego, natomiast dla (i = 0,5 - dwukrotnie niższa.

Zgodnie ze zmienioną wcześniej notacją, S jest wartością portfela, a F jest wartością kontraktu futures (równą cenie terminowej pomnożonej przez wielkość kontraktu). Można wykazać, że przybliżona optymalna liczba kontraktów (N') wynosi³:

(4.4)

Pokażemy to na następującym przykładzie. Załóżmy, że:

= 200

= 2 040 000 dolarów = 10 procent w skali roku = 4 procent w skali roku = 1,5

Wartość indeksu S&P 500 Wartość portfela

Wolna od ryzyka stopa procentowa Stopa dywidendy indeksu S&P 500 Współczynnik beta dla portfela

Zakładamy, że w trzymiesięcznej strategii zabezpieczającej wykorzystamy czteromiesięczne kontrakty futures na indeks S&P 500. Jeden kontrakt futures opiewa na dostawę 500 dolarów pomnożonych przez wartość indeksu. Ze wzoru (3.12) obliczyć możemy aktualną cenę terminową tego kontraktu, która równa jest 204 (= 200t/°^,1H)'⁰⁴'^x0'³³³). Tak więc wartość kontraktu futures (F) powinna wynieść 102 000 dolarów (= 500 x 204). Zgodnie ze wzorem (4.4) liczba kontraktów, które należy sprzedać w celu zabezpieczenia portfela, wyniesie:

,, 2040000

1,5 x-

102000

= 30

Załóżmy, że w ciągu trzech miesięcy wartość indeksu spadnie do poziomu 180. Cena terminowa równać się będzie 180,9 (= 180e^(0l_0'^04)x0‘⁰⁸³³ ). Zysk z zajmowanej pozycji krótkiej wyniesie zatem 346 500 dolarów (= 30 x (204- 180,9)x 500). Strata na indeksie wynosi 10 procent. Jeśli jednak * Aby wyprowadzić wzór (4.4) oznaczmy AS/S jako R_s . zaś AF/F jako R_f. Ponadto oznaczmy odchylenia standardowe R_s i R_F odpowiednio jako a, i a_}, natomiast współczynnik korelacji pomiędzy Rs i R_f jako p . R_s oznacza stopę zwrotu z portfela; możemy ponadto przyjąć, że R_F jest przybliżoną stopą zwrotu z portfela rynkowego. Możemy zatem przyjąć następujący przybliżony wzór na wartość P:

P = p'aja,

Z kolei przybliżone wartości a_{, o, oraz p‘ wynoszą:

o, = a_s/S P =P

Tak więc przybliżona wartość fi wynosić będzie:

a

Po wyliczeniu z lego równania p i podstawieniu do wzoru (4.3) otrzymujemy wzór (4.4).

Tabela 4.7 Wyniki strategii zabezpieczającej wykorzystującej kontrakty futures na indeks giełdowy.

Wartość indeksu po trzech miesiącach	180	190	200	210	220
Cena terminowa indeksu po trzech miesiącach	180,9	191,0	201,0	211,1	221,1
Zysk z pozycji futures (w tysiącach dolarów)	346,5	195,0	45,0	-106,5	-256,5
Wartość portfela (uwzględniając dywidendy) po trzech miesiącach (w tysiącach dolarów)	1739,1	1892,1	2045,1	2198,1	2351,1
Całkowita wartość pozycji po trzech miesiącach (w tysiącach dolarów)	2085,6 2087,1		2090,1	2091,6	2094,1

wziąć pod uwagę wypłacaną dywidendę (w wysokości 4 procent w skali roku lub 1 procent w skali trzech miesięcy) okazuje się, że strata ta zmniejszy się do 9 procent w okresie trzymiesięcznym. Wolna od ryzyka stopa procentowa dla tego samego okresu wynosi około 2,5 procent¹. Ponieważ wartość /ł analizowanego portfela wynosi 1,5, otrzymujemy:

Wolna od ryzyka stopa

procentowa

Oczekiwana stopa zwrotu z portfela

Wolna

od ryzyka _ i r _x Stopa zwrotu stopa ^- ’ z indeksu procentowa

Stosując powyższą zależność otrzymujemy oczekiwaną stopę zwrotu z analizowanego portfela -14,75 procent (=2,5+[1,5 x(-9 -2,5)]). Tak więc oczekiwana wartość portfela (uwzględniając dywidendy) po upływie trzech miesięcy wyniesie 1 739 100 dolarów (= 2040000 $ x(l -0,1475). Jeśli uwzględnimy zysk wynikający z zastosowania strategii zabezpieczającej, otrzymamy ostateczną wartość pozycji inwestora równą 2 085 600 dolarów (= 1739100 $ + 346500 $). Powyższe obliczenia podsumowane są w tabeli 4.7, gdzie podano także wyniki dla innych wartości indeksu na zakończenie strategii zabezpieczającej. Dla potrzeb powyższej tabeli założyliśmy, że wartość stopy dywidendy dla indeksu jest możliwa do przewidzenia, wolna od ryzyka stopa procentowa pozostaje na stałym poziomie, zaś stopa zwrotu z portfela rynkowego jest w analizowanym okresie trzech miesięcy doskonale skorelowana ze stopą zwrotu z analizowanego portfela. W praktyce założenia te nie zawsze są spełnione, co sprawia, że strategia zabezpieczająca nie jest tak skuteczna, jak wynikałoby to z tabeli 4.7.

1

Dla ułatwienia prezentacji zignorowano fakt, że stopy procentowe i stopy dywidendy są kapitalizowane w sposób ciągły. Założenie takie w bardzo nieznacznym stopniu wpływa na zmianę otrzymanych wyników.