Zarz Ryz Finans R13@0

400 Zarządzanie ryzykiem finansowym

wykonanie opcji (z wykorzystaniem metod numerycznych), a następnie dodaniu jej do ceny opcji europejskiej (uzyskanej z modelu analitycznego).

Wycenę opcji poprzez aproksymację kwadratową zaproponował jako pierwszy Lionel Macmillan w 1986 r. W 1987 r. metodę tę wykorzystali Giovanni Barone-Adesi i Robert Whaley. Zastosowano ją do wyceny amerykańskich opcji kupna i sprzedaży na akcje, indeksy giełdowe, waluty i kontrakty' futures.

Drzewo genealogiczne

Wiele już powiedzieliśmy o modelach wyceny opcji. Jest jednak jeszcze jedna grupa, którą powinniśmy zaprezentować. Jak wspominaliśmy na początku tego rozdziału, model Blacka-Scholesa miał swoich prekursorów.

Jeśli połączymy ilustracje 13.6 oraz 13.9, a następnie dodamy do nich „genealogie” modeli aproksymacji analitycznej oraz prekursorów modelu Blacka-Scholesa, uzyskamy drzewo genealogiczne przedstawione na ilustracji 13.10. Obraz ten potwierdza to, co powiedzieliśmy już na początku - model Blacka-Scholesa nie jest ani początkiem, ani końcem historii.

Na marginesie

Prekursorzy modelu Blacka-Scholesa

Najwcześniejsza znana nam próba analitycznej wyceny opcji została podjęta w rozprawie doktorskiej Louisa Bacheliera na Sorbonie w 1900 r. Bachelier założył, że ceny akcji podlegają arytmetycznym (a nie geometrycznym) ruchom Browna, który to proces prowadzi do normalnego rozkładu zysków z akcji. Był przy' tym na dobrym tropie, lecz przyjęty przez niego proces dopuszczał zarówno ujemne ceny akcji, jak i ceny opcji przewyższające ceny waloru pierwotnego; wzór wymagał obojętności na ryzyko oraz nie uwzględniał wartości pieniądza w czasie.

Dwoma problemami związanymi ze wzorem Bacheliera zajął się Case Sprenkle. Założył, że rozkład cen akcji jest logaryt-miczno-normalny, oraz dopuścił dryft błądzenia przypadkowego (wykluczając tym samym ujemne ceny akcji i dopuszczając awersję do ryzyka). Aby dać czytelnikom pewne wyobrażenie w sprawie tego, jak daleko posunął się Sprenkle, przedstawiamy jego model zapisany w postaci modyfikacji modelu Blacka-Scholesa:

C

t^p .

+ (L+|) T ajf

&

-Cl-.-)

krjsfN

»»($) +(»-f^:)7~ <s4f