250 2

250

7. Różr.icc skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

Dowód (indukcyjny). Z definicji ta tożsamość jest prawdziwa dla

źe jest tak dla k=p. Dla k=p+1 mamy więc A*+'y_n=A*y_m+_x-4’y

fftk Hb t=n /'= n4-1 mnmv wipt

Żn-fl+p | j I yrr\p~^ ^n-p- 1    -••+(

+(2) -^v«+„-2“ - +<“^ł^H|

Współczynnik przy >•„* ,+ _Ł > _v (K v<p) jest tu równy

,)]-<-<■) m

- zgodnie z dobrze znanym twierdzeniem o współczynnikach dwumianu Newtona (regułą budowania trójkąta Pascala). Ponieważ prócz tego jest (^^P _Q ^=1 i    j j = l, więc

współczynnik przy każdym >,*,+ !_, w rozwinięciu J*⁺¹v« jest równy (-ł)^y^^IJ. Podobnie można udowodnić następne twierdzenie:

Twierdzenie 7.1.2.

y-*=y,+Q dy„-rQ A²y„+. ..+Q A^ky_m.

Twierdzenia 7.1.1 i 7-1.2 można wyrazić jako twierdzenia o „symbolicznym’' dwumianie Newtona:

(7.1.3)

J⁴=(£-l)*_; E^k=(l+A)^k.

Systematyczne badame takich wzorów operatorowych odkładamy do § 7.6.

Schemat różnicowy składa się z ciągu i z ciągów jego różnic, uporządkowanych pująco:

y o
	óy0
Yi		4^2>'o
	óyx		^}’o
y2		A^2Vi
	Ay2		A*yA
y 3		A^2y2
	óy3
y4

A⁴y„

Najlepszym sposobem tworzenia tego schematu są kolejne odejmowania wy-O® z definicji A^k (twierdzenia 7.1.1 używa się głównie w rozważaniach teoretycznych)*