258 2

258

7. Różnice skończone w całkowaniu i różniczkowaniu

Przybliżone oszacowania błędów zaczynają się zwykle od aproksymacji pierw$2eJ odrzuconego składnika rozwinięcia w szereg potęgowy względem długości kroku (przyft&l 7.2.1) lub rozwinięcia w szereg względem różnic coraz wyższego rzędu. Jest typowej w takim przypadku ścisłą resztę postaci chⁿf^{n\ę) szacuje się za pomocą cA^Df

Zilustrujemy teraz różnorodne sposoby wyprowadzania wzorów i reszt. Wyitiłcij^B kładów stanowiących tę ilustrację są same w sobie ważne.

Przykład 7.2.1. Zbudować wzór

/i n « a/o + 6/, + c/₀ ’+ df\\    gdzie .x_i=x₀ + łfc,

dokładny dla wielomianów możliwie najwyższego stopnia. Znaleźć przybliżone oszacowanie błędu. Zastosować ten wzór wraz z oszacowaniem błędu w przypadku /(*)-£>*_

Xq=0, *, = 0.2.

Niech będzie \h~x. Wobec tego x₀-x_lI2--a, x_l—x_lj2-x. Trzeba wyznaczyć cztery współczynniki. Można to zrobić za pomocą funkcji f(x)=(x—x_1/2y («=0, 1, 2. 3). Wybierając „funkcje testowe" tego typu, możliwie najpełniej wykoizystuje się aspekty symetrii zadania:

/(x)« 1:    1= a+ b,

f(x)=x-x_ll2:    0 =—za + xb+ c+ d,

f(x)=(x~x_ll2)²:    0= oc²a+cc²b- 2uc+ 2ad.

/(x)=(x-x,_;2)³:    0= -a³a+a³ó-t-3x²c+3ord.

Po pewnych przekształceniach otrzymuje się układ

a(-a + 6)+ (c+d) =0, a(—a + ó)-f 3(e+rf) =0, a + b    =1,

<x(a + b)+2(—c+d)=»0.

Jego rozwiązaniem są liczby

a = b=i,    c= — </=ła=k/x.

Poszukiwany wzór jest więc następujący:

(7.2.2)    fm*Kfo+fi)+infó-/i) ■

Jest on dokładny dla wszystkich wielomianów trzeciego stopnia (dlaczego?). Dla f(x)=(x—x_1/2)⁴ błąd obcięcia wynosi

^r^=a/o + ^/i    —fti 2 =