40 (189)

Matematyka. Zbiór zadań do liceów i techników. Klasa III

*6.11. Dane są punkty 4(1, 0) oraz B(5, 2). Prosta k przechodzi przez punkt P(4, 4) i jest równoległa do prostej AB. Wyznacz współrzędne punktu C, który należy do prostej A' i jest równoodległy od punktów A i B. Czy trójkąt ABC jest prostokątny? Odpowiedź uzasadnij.

*6,12. Punkty 4(1, -1), B(3, 5) i C(-7, 11) są wierzchołkami trójkąta. Znajdź współrzędne środka O okręgu opisanego na tym trójkącie.

*6.13. Wykaż, że środek okręgu opisanego na trójkącie ABC, gdzie A(-4, 0), B(0, -4), C(4, 0) należy do paraboli o równaniu y = x²- 6x.

*6.14. Znajdź współrzędne punktu Q symetrycznego do punktu P(-l, -4) względem prostej o równaniu 5x + 4y - 20 = 0.

*6.15. Punkty A(-2, -1) oraz D(2, 2) są wierzchołkami rombu, którego przekątna AC jest zawarta w prostej o równaniu x - 3y - 1 = 0. Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

*6.16. W kwadracie ABCD dane są: wierzchołek 4 (1,-3) i równanie prostej k: 2x-y = 0, w której zawiera się jedna z przekątnych kwadratu. Znajdź współrzędne wierzchołka C oraz oblicz pole tego kwadratu.

*6.17. W równoległoboku ABCD dane są: wierzchołki A( 1, 1), B(5, 3) oraz punkt przecięcia przekątnych 5(3, 4). Oblicz współrzędne punktu £, który jest rzutem prostokątnym punktu B na prostą CD.

*6.18. Na płaszczyźnie dany jest zbiór A = {(¹,>>):¹ e R /\y e R a x²-y² > 0}. Znajdź punkt P należący do zbioru 4, który leży najbliżej punktu AT( 1,2).

*6.19. Na płaszczyźnie dany jest zbiór A = {(.r,y):x e R /\y e R a y²-x² > 0}. Znajdź punkt P należący do zbioru A, który leży najbliżej punktu K(-2, 1).

*6.20. Okrąg o środku w punkcie 5(-3, -4) jest styczny wewnętrznie do okręgu o równaniu x² +y² + 12¹ + 16y = 0. Znajdź równanie stycznej do obu tych okręgów.

*6.21. W trójkącie ABC dane są: wierzchołek 4(2, 1) i wektory AB = [7, 3] oraz BC = [-6, 1]. Znajdź równanie prostej, w której zawarta jest wysokość trójkąta, poprowadzona z wierzchołka C.

*6.22. W trójkącie równoramiennym ABC (|4C| = \BC\) dane są: wierzchołek C(-6, 2) oraz wek-

—> —>

tory CD = [-6, 4] i AB = [-4, -6], gdzie CD jest wysokością trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C. Znajdź równania prostych, w których zawierają się boki tego trójkąta.

6.23. Znajdź równania prostych, w których zawierają się boki trójkąta ABC, jeśli dany jest wierzchołek trójkąta A(-2, 1) oraz równania dwóch prostych, w których zawierają się dwie wysokości tego trójkąta h\. 5¹ - 3y + 5 = 0 oraz h₂: x +y - 1 =0.