48 (174)

Matematyka. Zbiór zadań do liceów i techników. Klasa III

7.12. Podczas rozwiązywania zadań z kombinatoryki w pewnej klasie jeden z uczniów, doskonały z biologii, ze zdziwieniem stwierdził, że liczba wyrazów (mających sens lub nie), otrzymanych z przestawiania liter wyrazu PRAWDOPODOBIEŃSTWO jest porównywalna z liczbą tzw. synaps neuronów (czyli styków pomiędzy neuronami) w korze mózgowej człowieka. Jak myślisz, ile synaps neuronów ma kora mózgowa człowieka?

7.13. Pięć pań: Abacka, Babacka, Cabacka, Dabacka i Ebacka zajmuje pięć sąsiednich miejsc w jednym rzędzie w kinie. Na ile sposobów mogą one usiąść, tak aby panie Abacka i Babacka siedziały obok siebie w wymienionej kolejności?

Zadanie to możemy rozwiązać następująco:

• Potraktujmy panie Abacką i Babacką jako („nierozłączną”) parę, którą możemy oznaczyć jednym symbolem, np. P. Każdą z pozostałych pań oznaczmy pierwszą literą jej nazwiska: C, D, E.

• Zauważmy, że liczba sposobów rozmieszczenia wszystkich pań w rzędzie będzie taka sama, jak liczba ciągów czteroelementowych, których wyrazami są elementy zbioru {C, D, E, P}. Jest ich 4! = 24.

A więc panie mogą usiąść na 24 sposoby.

Wykorzystując powyższe rozumowanie rozwiąż zadanie:

Siedem pań: Abacka, Babacka, Cabacka, Dabacka, Ebacka, Fabacka i Gabacka zajmuje siedem sąsiednich miejsc w jednym rzędzie w kinie. Na ile sposobów mogą one usiąść, tak aby panie Abacka, Babacka i Cabacka siedziały obok siebie (w podanym porządku)?

7.14. Siedem pań: Abacka, Babacka, Cabacka, Dabacka, Ebacka, Fabacka i Gabacka zajmuje siedem sąsiednich miejsc w jednym rzędzie w kinie. Na ile sposobów mogą one usiąść, tak aby panie Abacka, Babacka i Cabacka siedziały obok siebie (w dowolnym porządku)?

7.15. Na ile sposobów może ustawić się w szeregu grupa 5 chłopców i 4 dziewcząt, tak aby dwie osoby tej samej płci nie stały obok siebie?

7.16. Na ile sposobów może ustawić się w szeregu grupa 5 chłopców i 5 dziewcząt, tak aby dwie osoby tej samej płci nie stały obok siebie?

7.17. Przy okrągłym stole ustawiono 5 krzeseł. Na ile sposobów może usiąść 5 osób przy tym stole?

7.18. Przy okrągłym stole ustawiono 6 krzeseł. Na ile sposobów może usiąść 6 osób przy tym stole tak, aby osoby A i B usiadły naprzeciwko siebie?

7.19. Ile jest liczb pięciocyfrowych, utworzonych z cyfr 0, 1, 2, 3, 4 (0 nie może być pierwszą cyfrą)?

Zadanie to możemy rozwiązać w następujący sposób:

• Obliczymy, ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych, łącznie z tymi, w których 0 jest pierwszą cyfrą. Korzystając z drzewka (nie musimy już rysować go całego, lecz tylko część, która pozwoli nam obliczyć, ile „gałęzi” wychodzi z każdego wierzchołka na odpowiednim piętrze) łatwo obliczamy, że jest ich 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 5!= 120.