56 (136)

Matematyka. Zbiór zadań do liceów i techników. Klasa III

Zadanie to możemy rozwiązać następująco:

a)    Oznaczmy hotele literami A, B, C, D. Przyporządkujmy każdej z osób hotel, który wybrała. W wyniku takiego przyporządkowania otrzymujemy ciągi ośmioelementowe, których wyrazy należą do zbioru {A, B_y C, D). Takich ciągów jest 4⁸ = 65536.

b)    Zauważmy najpierw, że dwa hotele spośród czterech możemy wybrać na 6 sposobów (kolejność wyboru nie jest tu istotna): {A₉B}₉ {A,C}, {A₉D}, {B, C}, {£,£>}, {C, D). Jeżeli już dokonaliśmy wyboru pary hoteli, to liczba sposobów zakwaterowania w nich ośmiu osób jest równa liczbie ciągów ośmioelementowych, których wyrazy należą do zbioru dwuele-mentowego (dwa wybrane hotele, np. do zbioru {A, £>}): 2⁸. Jednak wśród tych ciągów są dwa o jednakowych wyrazach, które nie spełniają warunków zadania (w naszym przykładzie są to ciągi: (A, A,..., A) oraz (Z), D,..., D)). Zatem ciągów spełniających warunki zadania jest 2⁸ - 2.

Tak więc wszystkich sposobów zakwaterowania, o którym mowa w tej części zadania jest 6 • (2⁸ - 2) = 1524.

Wykorzystując powyższe rozumowanie rozwiąż następujące zadanie:

Na peronie dziesięć osób czeka na pociąg. Podjeżdża skład, złożony z trzech wagonów. Zakładamy, że każda z osób losowo wybiera wagon do którego wsiada. Na ile sposobów osoby te mogą zająć miejsca w wagonach, tak aby znalazły się tylko w dwóch wagonach?

7.53. Czterech pasażerów wsiada na parterze do windy, która zatrzymuje się na każdym z 5 pięter domu. Ile jest możliwych sposobów wysiadania tych pasażerów na poszczególnych piętrach, jeśli:

a)    każdy pasażer może wysiąść na dowolnym piętrze,

b)    każdy pasażer wysiądzie na innym piętrze,

c)    wszyscy pasażerowie opuszczą windę na dwóch różnych piętrach?

Kombinacje

7.54. Ile dwuelementowych podzbiorów ma zbiór A = {*, •, x, ®}?

Zadanie to możemy rozwiązać dwoma sposobami:

Sposób 1.

Możemy wypisać wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru A:

{*, •}, {*, x}, {*, ®} {•, *}, {•, ©}, K ©}•

Jest ich 6.

Sposób 2.

*    • x 0

A A A A

• X® * X© * #0 * # X

• Rysujemy drzewko i obliczmy, ile jest ciągów dwuelementowych o wyrazach należących do zbioru A (przy czym wyrazy ciągu nie mogą się powtarzać).

Takich ciągów jest tyle, ile dwuelementowych wariacji bez pow-

4*

tórzeń zbioru czteroelementowego:-= 12.

(4-2)!

56