CCF20120509062

ZSI) Częsc ll. Kozwiązama i odpowiedzi

Spełnione jest również równanie ciągłości

0X 0y

Wobec powyższego, istnieje potencjał prędkości cp(x,y), gdzie

0ę>

0^ = °’

0ę>

0y

= v_y = b,

zatem

d cp = adx-hbdy,

a po scałkowaniu

cp = ax + by.

Dla (p(x,y) = const otrzymamy równanie rodziny linii ekwipotencjalnych

a ^ y = --jc + C,

które są prostymi równoległymi, nachylonymi do osi x pod kątem

a = arctg) -- ).

W celu wyznaczenia funkcji prądu, korzystamy z następującego równania różniczkowego:

0l/l    0l/l

di/' = — dy + — dx, oy    ox

0 lf/    01//

_ = a, —=-_v=-b, cy    0x

dij/ = ady — bdx

w którym stąd

i po scałkowaniu

i/i = ay — bx.

Dla il/(x,y) = const otrzymamy rodzinę prostych równoległych o równaniu

y = -x + C., a

nachylonych do osi x pod kątem

P =

b

arc tg-. a

Obydwie rodziny prostych cp = (p(x,y) i p = ip(x,y), przedstawione na rysunku 11-4.3, są ortogonalne.

Jeżeli v_x = a, a v_y = 0, to

cp = ax,    p = ay

Rys. II-4.3

i li nic prądu są równoległe do osi x. Gdy v_x = 0, a v_y = b, linie prądu są równoległe do uul y, to znaczy.

cp = by, ip = —bx.

4.1.10. Ponieważ analizowany przepływ jest ustalony, zatem linie prądu będą I' ihiocześnie torami poruszania się cząsteczek płynu. Wyznaczając

01{/    0(/l

- = v_x=-ay i —=-_v=-ax,

0y    0x    ^y

i'li/ymamy równanie różniczkowe

(lip = — nydy —axdx = 0,

I id po scałkowaniu

_x²+y² = C.

Powyższa zależność jest równaniem linii prądu, które przedstawia rodzinę 4 tęgów współśrodkowych o środku leżącym w początku układu osi współrzędnych li vi II 4.4).