2801842207

MATEMATYKA 3. MACIERZE I WYZNACZNIKI

3.7 Macierz dołączona, odwrotna i macierz ortogonalna

Na wstępie podamy definicję pojęcia bardzo ważnego przy rozwiązywaniu układów równań.

Definicja 3.15 Rzędem macierzy A nazywamy najwyższy stopień różnych od zera wyznaczników (minorów) tej macierzy.

Rząd macierzy A oznaczamy przez R (A) lub rank(A)¹⁰. Wprowadzimy zapis A = B. gdy /?(A) = 7?(B) (rank A = rankB).

Uwaga 3.3 Rząd macierzy A nie ulega zmianie, jeżeli, do elementów dowolnego wiersza macierzy dodamy odpowiednie elementy innego wiersza tej macierzy pomnożone przez dowolną liczbę lub jeżeli, skreślimy jedną z dwóch identycznych kolumn (wierszy) macierzy.

Przykład 3.8 Znaleźć rząd macierzy

1 1 2

A =

2 1 0

3 2 2

Rozwiązanie 3.8 Najwyższy stopień wyznacznika macierzy A wynosi 3. a macierz posiada elementy niczcrowc (wyznaczniki stopnia 1), a więc 1 < R (A) < 3. Ponieważ

1 1	2	(-2)	1	1	2	(-1)	1	1	2
2 1	0	=	2	1	0	i =	1	0	-2
3 2	2	i	1	0 -2			1	0	-2

0+2)

1 -2 1 -2

= 0

musimy obliczyć wyznaczniki niższych stopni. Jednym z nich może być wyznacznik drugiego ^    =1^0. Oznacza to, Ze. rząd macierzy A wynosi 2; rank A = 2.

stopnia

3 2

Przykład 3.9 Znaleźć rząd macierzy

5    3 4 -18 6 1

A =

301    -7 4 6

6    3 6 -27 9 3

Obliczarny wartość wyznacznika

= 3(-l)¹⁺²

5 3 4 3 0 1 1 0 2

3 1

1 2

= —3(6—1) = —15 ^ 0

Rozwiązanie 3.9 Przekształcamy macierz tak. aby najprościej obliczyć wyznacznik trzeciego stopnia

'5 3 4	-18	6 1 '	(-1)	ij	’ 5 3 4	ł-H oc <—1 1
3 0 1	— 7	4 6		n	3 0 1	-7 4 6
6 3 6	-27	9 3	i		1 0 2	-9 3 2

A więc rząd macierzy A wynosi 3; R (A) = 3. Rząd macierzy mówi nam o wielu jej własnościach.

10

W starszych podręcznikach można spotkać symbole r (A) lub rz (A).

49