258 259

258

Podejmowanie decyzji w warunkach niepełnej informacji -

Przykład 5.1¹

i mm

■jfó* t’\< ■

i

Gazeciarz kupuje rano paczkę gazet po cenie hurtowej wynoszącej 80 g_r za sztukę i następnie odsprzedaje je po 1,10 zł za szt. Paczki zawierają po 40 szt. Z obserwacji popytu na sprzedawaną gazetę wynika, że jest on zróż- > nicowany. W „dobrym” dniu udaje się gazeciarzowi sprzedać około 150 gazet, % w dniu „przeciętnym” — 100 szt., a w dniu „słabym” — 50 egzemplarzy.

Częstotliwość pojawiania się dni dobrych szacuje on na 34%, częstotliwość v, dni przeciętnych ocenia na 40%, natomiast dni słabych — na 26%. Jaką decyzję dotyczącą liczby zakupionych przez gazeciarza paczek z gazetami można uznać za decyzję optymalną?

W zależności od popytu na gazety, który zrealizuje się w danym dniu, oraz liczby zakupionych paczek gazet zysk (lub strata) gazeciarza kształtuje się następująco:

Popyt 50 szt.; gazeciarz zakupił jedną paczkę gazet. Wszystkie gazety zostały sprzedane z zyskiem 30 gr za szt. Zysk gazeciarza jest równy: 40 -0,3 zł = 12 zl.

Popyt 50 szt.; gazeciarz zakupił dwie paczki gazet. Sprzedanych zostało 50 gazet, zysk ze sprzedaży wynosi 15 zł. Gazeciarzowi nie udało się sprzedać 30 gazet, co daje stratę 24 zł. Zysk gazeciarza jest równy: 15 zł-24 zł = = -9 zł. Gazeciarz stracił tego dnia 9 zł.

Popyt 50 szt.; gazeciarz zakupił trzy paczki gazet. Sprzedanych zostało 50 gazet, zysk ze sprzedaży wynosi 15 zł. Gazeciarzowi nie udało się sprzedać 70 gazet, co daje stratę 56 zł. Zysk gazeciarza jest równy: 15 zł-56 zł = = — 41 zt. Gazeciarz stracił tego dnia 41 zł.

Popyt 50 szt.; gazeciarz zakupił cztery paczki gazet. Sprzedanych zostało 50 gazet, zysk ze sprzedaży wynosi 15 zł. Gazeciarzowi nie udało się sprzedać 110 gazet, co daje stratę 88 zł. Zysk gazeciarza jest równy: 15 zł-88 zl = = — 73 zł. Gazeciarz stracił tego dnia 73 zl.

Tablica S.l

Decyzja	Zysk gazeciarza			B
	n = 50	71=100	n = 150
x=i	12	12	12
x=2	-9	24	24
jr = 3	-41	14	36	%
x~4	-73	-18	37

¹ Założenia do przykładu opracowano na podstawie książki 15. Kopańskiej- Bródki, Wprowadzenie do badań operacyjnych, AE Katowice, 1996. Przykład ten można rozwiązać za pomocą programu DRZEWOI.EXE lub DRZEW02.EXE.

li

Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka

259

Pozostałe sytuacje, gdy popyt wynosi 100 szt. lub 150 szt. rozpatrujemy w taki sam sposób. Otrzymane rezultaty zapisujemy w postaci macierzy wypłat (tablica 5.1).

Przy wyborze decyzji można posłużyć się regułą maksymalizacji oczekiwanej korzyści. Sformułujemy ją następująco:

Reguła maksymalizacji oczekiwanej korzyści

Posługując się rozkładem prawdopodobieństwa zaistnienia kolejnych stanów natury, obliczamy oczekiwane korzyści dla poszczególnych decyzji. Decyzją rekomendowaną jest ta. dla której oczekiwana korzyść jest maksymalna. W przypadku niejednoznaczności rekomendujemy wszystkie decyzje, dla których spełniony jest powyższy warunek.

Wykorzystujemy prawdopodobieństwa zaistnienia kolejnych poziomów popytu, równych — odpowiednio — 0,26 (popyt mały), 0,4 (popyt średni) oraz 0,34 (popyt duży), i obliczamy oczekiwane korzyści dla kolejnych decyzji. Otrzymujemy:

EK(x = 1) = 12 • 0,26 + 12 • 0,4 + 12 • 0,34 = 12,

E K(x = 2) = (- 9) • 0,26 + 24 • 0,4 + 24 • 0,34 = 15,42,

EAT(jc=3) = (—41) - 0,26+ 14 0,4 + 36 0,34 = 7,18,

EK{x = 4) = (- 73) • 0,26 + (-18) • 0,4 + 37 ■ 0,34 = - 13,6,

gdzie symbolem EK(x = i), /'= 1,.... 4, oznaczono oczekiwaną korzyść, gdy gazeciarz podjął decyzję x o zakupie i paczek gazet.

Porównując uzyskane wartości oczekiwane, stwierdzamy, że najkorzystniej podjąć decyzję x~2. Na podstawie kryterium wartości oczekiwanej można zarekomendować gazeciarzowi nabycie dwóch paczek gazet.

Rozpatrywany jednoetapowy proces decyzyjny można przedstawić w formie drzewa decyzyjnego. Jest to graf, w którym znajdują się wierzchołki będące węzłami decyzyjnymi, wierzchołki odpowiadające możliwym realizacjom stanów natury (węzły losowe) oraz wierzchołki odpowiadające możliwym wynikom końcowym, nazywane węzłami końcowymi. Pierwsze z nich zaznaczamy w postaci prostokątów, drugie — kółek, a trzecie — pogrubionych kropek. Krawędziami wychodzącymi z węzłów decyzyjnych są decyzje, a krawędziami wychodzącymi z węzłów losowych są możliwe realizacje stanów natury.

Zbudujemy drzewo decyzyjne dla rozpatrywanego przykładu. Pierwszym węzłem w grafie jest jedyny występujący w tym grafie węzeł decyzyjny o numerze 1. Gazeciarz może podjąć cztery decyzje dotyczące liczby zakupionych paczek z gazetami. Decyzjom tym odpowiadają cztery krawędzie, rozpoczynające się w węźle decyzyjnym 1 i opisane następująco: x= I, x = 2, x = 3 i jc = 4. Kolejnymi węzłami są węzły losowe. Z każdego z węzłów losowych (oznaczonych literami: a, b, c, d) wychodzą trzy krawędzie, odpowiadające realizacjom stanów natury: n = 50, n= 100 i n= 150.