262 263

262 Podejmowanie decyzji w warunkach niepełnej informacji

• x₂(87) = 1, czyli kupuje jedną paczkę gazet.

Niezależnie od wielkości popytu na gazety, który wystąpi drugiego dnia, jego kapitał wzrośnie z prawdopodobieństwem 1 o 12 zł, do wysokości 99 zł.

• ¹2(87) = 2, czyli kupuje dwie paczki gazet.

Jeżeli zrealizuje się popyt n, =50 (co nastąpi /. prawdopodobieństwem 0,26), to poniesie on stratę w wysokości 9 zl i jego kapitał zmniejszy się do 78 zt. Jeżeli zrealizuje się wyższy popyt, czyli ri, = 100 lub n,= 150 (co nastąpi z prawdopodobieństwem 0,4 + 0,34 = 0,74), to zyska 24 zł i jego kapitał wzrośnie do 111 zł.

Mając do dyspozycji 66 zł, gazeciarz może podjąć jedną z następujących decyzji:

• ¹j(66)= 1, czyli kupuje jedną paczkę gazet.

Niezależnie od wielkości popytu na gazety, który wystąpi drugiego dnia, jego kapitał wzrośnie z prawdopodobieństwem 1 o 12 zł, do wysokości 78 zł.

• ¹₂(66) = 2, czyli kupuje dwie paczki gazet.

Jeżeli zrealizuje się popyt n, =50 (co nastąpi z prawdopodobieństwem 0,26), to gazeciarz poniesie stratę w wysokości 9 zl i jego kapitał zmniejszy się do 57 zl. Jeżeli zrealizuje się wyższy popyt, czyli u, = 100 lub u, = 150 (co nastąpi z prawdopodobieństwem 0,4+0,34 = 0,74), to zyska 24 zł i jego kapitał wzrośnie do 90 zł.

Mając do dyspozycji 99 zł, gazeciarz może podjąć jedną z następujących decyzji:

Problem decyzyjny, który rozwiązuje gazeciarz, można przedstawić jako dwuetapowe drzewo decyzyjne. Na początku pierwszego dnia mamy węzeł decyzyjny o numerze 1 (kapitał = 75 zł). Gazeciarz może podjąć dwie decyzje, _V| = 1 lub X| =2, którym odpowiadają dwie krawędzie. Kolejnymi węzłami są węzły losowe a oraz b. Z węzła a wychodzi jedna krawędź losowa (z prawdopodobieństwem 1), natomiast z węzła b — dwie, z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio 0,26 i 0,74. Na początku drugiego dnia mamy węzły decyzyjne o numerze 2 (kapitał = 87), 3 (kapitał = 66) i 4 (kapitał =99). Dla węzła decyzyjnego 2 istnieje możliwość wyboru między decyzjami x₂- 1 oraz x₂ = 2. Takie same decyzje występują dla węzła 3, natomiast w węźle 4 mamy decyzje x₂=l, x₂=2 U₂ = 3.

Węzłami losowymi w drugim dniu są: c, d, e, /, g, h, i. 7. węzłów c.. e oraz g wychodzi jedna krawędź losowa (z prawdopodobieństwem I), z węzłów: d, f, h — dwie (odpowiednio z prawdopodobieństwami 0,26 i 0,74), z węzła i — trzy (odpowiednio z prawdopodobieństwami 0,26, 0,4 i 0,34). Mamy 12 węzłów końcowych. Z przeprowadzonych wcześniej obliczeń wynika, że kapitał gazeciarza po drugim dniu może wynosić (w zł): 99, 78, 111,78, 57, 90, 11 1,90, 123, 58, 113 lub 135.

Celem przeprowadzonej dalej analizy drzewa decyzyjnego jest znalezienie strategii optymalnej. Strategia jest funkcją przyporządkowującą każdemu węzłowi decyzyjnemu pewną decyzję (w rozpatrywanym przez nas przypadku węzły te scharakteryzowane są wielkością kapitału, jakim dysponuje gazeciarz). Strategia optymalna przyporządkowuje każdemu stanowi natury decyzję optymalną z punktu widzenia przyjętej reguły decyzyjnej — maksymalizacji oczekiwanej korzyści (od momentu podjęcia decyzji do końca rozpatrywanego procesu decyzyjnego).

Analizę drzewa decyzyjnego rozpoczynamy od węzłów decyzyjnych ostatniego etapu. Obliczamy wartości oczekiwane dla poszczególnych decyzji, które zapisujemy nad krawędziami decyzyjnymi. W dalszych obliczeniach bierzemy pod uwagę największą oczekiwaną korzyść, pozostałe blokujemy, umieszczając na nich symbol przekreślenia x. Dalej przeprowadzimy analizę drzewa decyzyjnego dla dwuetapowego zadania gazeciarza.

Jeżeli po zakończeniu pierwszego dnia okaże się, że kapitał gazeciarza wzrósł do 87 zł (węzeł decyzyjny 2), to może on podjąć decyzję *,(87)= 1 lub .r,(87) = 2. W pierwszym przypadku jego kapitał wzrośnie z prawdopodobieństwem 1 do wysokości 99, stąd możemy zapisać, że wartość oczekiwana dla decyzji x₂= 1 dla wielkości kapitału lc₂ = 81 wynosi 99, czyli:

EAT[jc₂ (87) = IJ =99.

Jeżeli gazeciarz podejmie decyzję x₂ = 2. to z prawdopodobieństwem 0,26 jego kapitał zmniejszy się do wysokości 78 zł, natomiast z prawdopodobieństwem 0,74 zwiększy się do wysokości 111 zł, czyli:

E K[x-_ (87) = 2] = 78 • 0,26 +111- 0,74 = 102,42.

x₂(99) = 1, czyli kupuje jedną paczkę gazet.

Niezależnie od wielkości popytu na gazety, który zaistnieje drugiego dnia, jego kapitał wzrośnie z prawdopodobieństwem 1 o 12 zł, do wysokości 111 zł.

• ¹₂(69) = 2, czyli kupuje dwie paczki gazet.

Jeżeli zrealizuje się popyt n, =50 (co nastąpi z prawdopodobieństwem 0,26), to poniesie on stratę w wysokości 9 zł i jego kapitał zmniejszy się do 90 zl. Jeżeli zrealizuje się wyższy popyt, czyli n, = 100 lub u, = 150 (co nastąpi z prawdopodobieństwem 0,4 + 0,34 = 0,74), to zyska 24 zł i jego kapitał wzrośnie do 123 zł.

• ¹2(99) = 3, czyli kupuje trzy paczki gazet.

Jeżeli zrealizuje się popyt n, =50 (co nastąpi z prawdopodobieństwem 0,26), to poniesie on stratę w wysokości 41 zł i jego kapitał zmniejszy się do 58 zł. Jeżeli zrealizuje się popyt /i₂= 100 (co nastąpi z prawdopodobieństwem 0,4), to zyska 14 zł i jego kapitał wzrośnie do 113 zł. Jeżeli zrealizuje się popyt n₂ = 150 (co nastąpi z prawdopodobieństwem 0,34), to zyska 36 zl i jego kapitał wzrośnie do 135 zł.