284 285

284

Podejmowanie decyzji w warunkach niepełnej informacji

Załóżmy, że Gracz I dysponuje m strategiami, a Gracz Ii — n strategiami. Są one nazywane dalej strategiami czystymi. Chcąc określić rozwiązanie gry w przy; padku braku punktu siodłowego, wykorzystamy strategie mieszane. Są to wypukli kombinacje strategii czystych. Przyjmujemy, że x, jest prawdopodobieństwem' wykorzystania przez Gracza I strategii czystej S⁰,’ (i=l, ..., ni), a y_y jest prawdopodobieństwem wykorzystania przez Gracza II strategii czystej (/= I, .... _ny

Wektor wierszowy x = [r₁, x₂, .... x_m] taki. że 0 <x, ^ 1 oraz*, + ;t₂ +... +x_m= i nazywamy strategią mieszaną Gracza I.

Wektor kolumnowy y = [>>!, y₂- ..., y„]⁷ laki, że 0 < < I oraz y, + y₂ +... +>■„ = 1 nazywamy strategią mieszaną Gracza II.

W przypadku wielokrotnego przeprowadzania gry strategie mieszane informują o częstości wykorzystywania przez graczy dostępnych strategii czystych. Jeżeli gra przeprowadzona jest jednorazowo i obszar zastosowania decyzji dzielimy na obszary częściowe, odpowiadające poszczególnym strategiom, to strategie mieszane można interpretować jako proporcje odpowiadające tym obszarom częściowym.

Zauważmy, że strategie czyste można traktować jako szczególne strategie mieszane, w których jedna składowa (odpowiadająca wybranej strategii czystej) jest równa jeden, a pozostałe są zerami.

Oznaczymy przez w,(x, y) oczekiwaną wypłatę Gracza I, o ile będzie on stosował strategię x (czyli wybiera! kolejne strategie czyste z prawdopodobieństwem określonym przez kolejne składowe wektora x), a Gracz II będzie stosował strategię y (czyli wybierał strategie czyste z prawdopodobieństwem określonym przez kolejne składowe wektora y).

Obliczymy oczekiwaną wypłatę Gracza I w przykładzie 5.6, gdy będzie on stosował strategię mieszaną x* = [jc*, xf, Jćj¹], a Gracz II pewną (nieznaną Graczowi I) strategię mieszaną y = lyi, y₂, y₃]. Wykorzystując strategię .?!’ z prawdopodobieństwem xf, Gracz 1 spodziewa się, że jego przeciwnik będzie stosował swoje strategie z prawdopodobieństwami y,, y₂ i y₃, w związku z tym oczekiwana korzyść dla Gracza I z wykorzystania strategii S¹]¹ z prawdopodobieństwem x* wynosi:

[0-y, + 1 y₂ + (-l)y₃Uf.

W podobny sposób obliczamy oczekiwane korzyści dla Gracza I z wykorzystania z prawdopodobieństwem x% strategii oraz z prawdopodobieństwem strategii S^<f. Otrzymujemy odpowiednio wartości:

[(-    +0-v₂+ I -y₃]-*₂ oraz

[1 •)’, + (- l)-.v₂ + 0-.y,]jt*, stąd:

w,(x*, y) = (y₂-y₃)*f+ (-y, +y₃)r* + (y,-y₂)*₃-

W podobny sposób obliczamy oczekiwaną korzyść Gracza II dla wybranej przez niego strategii mieszanej y* = yf, yf], gdy Gracz I będzie stosował pewną (nieznaną Graczowi II) strategię mieszaną x=[jc,, x₂, Jt₃J. Wykorzystując strategię •S'7,’ z prawdopodobieństwem yf, Gracz II spodziewa się, że jego przeciwnik będzie stosował swoje strategie z prawdopodobieństwami x,, x₂ i x,, w związku z tym oczekiwana korzyść dla Gracza II z wykorzystania strategii ^z prawdopodobieństwem yf wynosi:

Ir:

_Gry dwuosobowe o sumie zero

[O jc, + (- l)-^2+l -JCsjyf-

W taki sam sposób obliczamy oczekiwane korzyści dla Gracza II ze stosowania z prawdopodobieństwem yf strategii ,S’^l,²|⁾ oraz z prawdopodobieństwem y — strategii Otrzymujemy odpowiednio:

[l jr,+0-jr₂+ I x₂]y*

oraz

[(— 1) - a, + 1 •jrj + O-jrjjy*,

stąd:

vy_M(x. y*) = (-*2+*.0y*H*i-*i)yf+ (-*i+*2)yf.

W ogólnym przypadku przyjmiemy, że Gracz I ma do dyspozycji m strategii, a Gracz II n strategii. Macierz wypłat składa się więc z następujących elementów:

w,,    w₁₂    ...    w

W₂|    tVj2    ...    W2n

^wm\    W_m2    ...    w„_m

Wartości w,(x*, y) oraz w„(x, y*) obliczymy ze wzorów:

^wt(^x*> y)= Sjwuyi +w_ny₂ + ... + w_lny„)xf,

i=i

n

y*)= X (w,|j:, + w_2lx₂ +... + M>_m|jc,„)y^. y>i    ‘

Sformułujemy obecnie następujące twierdzenia:

Twierdzenie 5.1

Dla dowolnej .strategii x Gracza I oraz y Gracza U zachodzi związek: Wi(x, y) w„(x, y).