SWScan00033

54 Kontrakty terminowe i opcje

W niniejszym rozdziale aktywa nabywane jedynie w celach inwestycyjnych zostały wyraźnie odróżnione od tych, które kupowane są wyłącznie w celach konsumpcyjnych. Możliwość dokonania arbitrażu pozwala, w wypadku aktywów inwestycyjnych, na określenie precyzyjnej zależności między ceną kontraktu forward lub futures a ceną gotówkową lub inną zmienną empiryczną. Nie jest to możliwe w odniesieniu do kontraktów opiewających na dobra konsumpcyjne.

Ustalenia wstępne

Przed przystąpieniem do analizy cen kontraktów forward warto poczynić pewne wstępne ustalenia.

Kapitalizacja ciągła

W niniejszym podręczniku, z wyjątkiem fragmentów, w których wyraźnie podkreślone jest użycie innej metody, stosowana jest ciągła kapitalizacja stóp procentowych. Czytelnikom przyzwyczajonym do stosowania kapitalizacji rocznej, półrocznej czy innej początkowo może się to wydawać niewygodne. Ze względu jednak na szerokie stosowanie kapitalizacji ciągłej w wycenie opcji i innych bardziej skomplikowanych instrumentów pochodnych doszedłem do wniosku, że warto od początku przyzwyczaić się do stosowania tej metody.

Rozważmy wartość A zainwestowaną na n lat według rocznej stopy procentowej R. Jeśli odsetki kapitalizowane są raz w roku, to wartość końcowa naszej inwestycji jest równa:

W wypadku kapitalizacji odsetek m razy w roku wartość końcowa inwestycji wyniesie:

(3.1)

Załóżmy, że A = 100$, R =10% rocznie, a n = 1, przez co rozumiemy jeden rok. Jeśli kapitalizacja odbywa się raz w roku (m = 1), to kwota 100 dolarów wzrośnie do 110 dolarów (= 100 $ x 1,1). Jeśli kapitalizujemy dwa razy do roku (m = 2), to wielkość A w ciągu roku zwiększy się do 110,25 dolara (= 100 $ x 1,05 x 1,05). W sytuacji czterokrotnego kapitalizowania odsetek w ciągu roku wartość końcowa wyniesie 110,38 dolara (= 100 $ x 1,025⁴). W tabeli 3.1 przedstawiony jest efekt dalszego zwiększania częstotliwości kapitalizacji (poprzez zwiększanie wartości m). Jeśli wartość m dąży do nieskończoności, to mamy do czynienia z kapitalizacją ciągłą. Można dowieść, że w wypadku kapitalizacji ciągłej wartość A zainwestowana na n lat według stopy procentowej R zwiększy się do:

(3.2)

Ae*"

Tabela 3.1 Efekt zwiększania częstotliwości kapitalizacji. Wartość początkowa = 100 dolarów, okres inwestycji = 1 rok, roczna stopa procentowa = 10%.

Częstotliwość kapitalizacji	Wartość 100 dolarów na koniec pierwszego roku [$]
Roczna (m = 1)	110,00
Półroczna (m = 2)	110,25
Kwartalna ( m = 4 )	110,38
Miesięczna (m = 12 )	110,47
Tygodniowa (m = 52)	110,51
Dzienna (m =365)	110,52

gdzie e = 2,71828 . Funkcja e^x jest wbudowana w większość kalkulatorów, zatem obliczenie wartości wyrażenia (3.2) nie sprawia problemów. W przykładzie podsumowanym w tabeli 3.1, gdzie A = 100, « = 1, a R = 0.1, wartość końcowa po zastosowaniu kapitalizacji ciągłej wyniesie:

100e^0,1 = 110,52

Jak widać (z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku), jest to taka sama wartość jak dla m = 365 . W praktyce więc kapitalizacja ciągła może być uważana za ekwiwalent kapitalizacji dziennej. Kapitalizacja ciągła pewnej kwoty pieniędzy według rocznej stopy procentowej równej R przez n lat polega na pomnożeniu tej kwoty przez e^Rn . Dyskontowanie ciągłe zaś polega na pomnożeniu tej kwoty przez e~^Rn .

Załóżmy, że jest stopą procentową przy kapitalizacji ciągłej, podczas gdy R₂ jest równoważną stopą przy kapitalizacji m razy w roku. Korzystając z wyrażeń (3.1) i (3.2) otrzymamy:

Ae^R,n = A[l + — m

lub:

^-Li)'
\ ml	▼
R.=m lnfl + —\		(3.3)
\ m)
R2 =m(e^Ri/m -l)		(3.4)

Oznacza to, że:

oraz:

Powyższe wzory można wykorzystać do zamiany stopy procentowej kapitalizowanej metodą ciągłą na stopę procentową kapitalizowaną m razy w roku i odwrotnie. Funkcja ln oznacza logarytm naturalny i jest wbudowana w większość kalkulatorów. Definiuje się ją w taki sposób, że gdy y = lnx to x-e^y.