SWScan00039

66 Kontrakty terminowe i opcje

wcześniej cenie F. W ten sposób opisana strategia pociąga za sobą koszty początkowe w wysokości oraz osiągnięcie końcowego przychodu w wielkości F. Bieżąca wartość przychodów musi być równa wartości kosztów, a więc:

Se"*^r = Fe~^rT

lub

F=Seⁱ'"^l)T    (3.7)

Jeżeli F<Se^{(r q} , możliwa jest transakcja arbitrażowa i osiągnięcie wolnego od ryzyka zysku poprzez jednoczesne kupno kontraktu forward i sprzedaż akcji. Jeżeli zaś F>Se^(r-</)r, wolny od ryzyka zysk można uzyskać poprzez jednoczesną sprzedaż kontraktu forward i kupno akcji.

Jeżeli stopa dywidendy zmienia się w okresie ważności kontraktu, ale jest znaną funkcją czasu, to wzór (3.7) nadal jest prawdziwy, z tym że ą jest równe średniej stopie dywidendy dla okresu ważności kontraktu.

Przykład

Rozważmy sześciomiesięczny kontrakt forward na papier wartościowy, dla którego oczekiwana stopa dywidendy płaconej w sposób ciągły jest równa 4 procent w skali roku. Wolna od ryzyka stopa procentowa (kapitalizowana w sposób ciągły) wynosi 10 procent w skali roku. Aktualna cena akcji jest równa 25 dolarów, a więc S = 25, r = 0J, 7 = 0,5, q = 0,04. Korzystając ze wzoru (3.7) możemy obliczyć cenę terminową:

F = 25e^0,0tx0'⁵ = 25.76

Wycena kontraktu forward

Wartość kontraktu w momencie zawarcia umowy forward jest równa zeru. Wraz z upływem czasu może się ona zmieniać i osiągać zarówno dodatnią, jak i ujemną wartość. Istnieje ogólna zależność, prawdziwa dla wszystkich kontraktów forward, która uzależnia wartość pozycji długiej w kontrakcie od wcześniej wynegocjowanej ceny dostawy K i bieżącej ceny terminowej, F. Opisuje ją następujący wzór:

f = (F—K)e~^rT    (3.8)

Aby udowodnić prawdziwość zależności (3.8) porównajmy pozycję długą w kontrakcie forward o cenie dostawy F z pozycją długą w kontrakcie forward o cenie dostawy K. Inne parametry obu kontraktów są takie same - różni je jedynie suma, jaka zostanie zapłacona za aktywa będące podstawą kontraktu w chwili T. W pierwszym kontrakcie suma ta jest równa F, a w drugim - K. Różnica wydatków F-K ma w chwili obecnej wartość: (F — K)e~^rT. W ten sposób wartość kontraktu o cenie dostawy F jest niższa od wartości kontraktu o cenie dostawy K o kwotę {F-K)e~^rT. Wartość kontraktu o cenie dostawy równej F wynosi z definicji zero. Z tego wynika, że wartość kontraktu o cenie dostawy K wynosi (F-K)e~^rT, tak jak stwierdza to wzór (3.8).

Podstawiając wzór (3.5) do równania (3.8) otrzymujemy poniższy wzór, który określa wartość kontraktu forward wystawionego na papier wartościowy nie przynoszący okresowych dochodów:

f = S - Ke~^rT    (3.9)

Podobnie podstawiając wzór (3.6) do równania (3.8) otrzymujemy wzór określający wartość kontraktu forward wystawionego na papier wartościowy przynoszący znany dochód o wartości bieżącej równej /:

f = S-I - Ke~^rT    (3.10)

Wreszcie, korzystając z równań (3.8) i (3.7) otrzymujemy zależność opisującą wartość kontraktu forward wystawionego na papier wartościowy o znanej stopie dywidendy równej q:

f = Se~^qT-Ke-^rT    (3.11)

Zauważmy, że w każdej z opisanych sytuacji, gdy cena terminowa F jest równa K, wartość kontraktu f jest równa zeru.

Przykład

Rozważmy pozycję długą w sześciomiesięcznym kontrakcie forward wystawionym na akcje spółki nie wypłacającej dywidendy. Stopa procentowa wolna od ryzyka (przy założeniu kapitalizacji ciągłej) jest równa 10 procent w skali rocznej, aktualna cena jednej akcji spółki wynosi 25 dolarów, a cena dostawy - 24 dolary. W takim wypadku S = 25, r = 0,1, T = 0,5, K-24. Korzystając ze wzoru (3.5) obliczamy cenę terminową:

F = 25e^0Jx0-⁵ = 26,28

Stosując wzór (3.8) możemy obliczyć wartość kontraktu: f = (26,28 - 24)e-°^jK0-⁵ = 247

którą możemy otrzymać także przy pomocy wzoru (3.9):

f = 25-24e-°^J’^,0-^s = 247

Czy ceny kontraktów forward

I KONTRAKTÓW FUTURES SĄ RÓWNE?

W dodatku 3A znajduje się dowód twierdzenia, że dla stałej wolnej od ryzyka stopy procentowej, która jest taka sama dla różnych okresów, cena kontraktu forward o określonej cenie dostawy jest równa cenie kontraktu futures o takiej samej cenie dostawy. Wnioski zawarte w tym dodatku można uznać za prawdziwe także w sytuacjach, w których pozbawiona iyzyka stopa procentowa jest znaną funkcją czasu.

Jeśli stopy procentowe zmieniają się w sposób nieprzewidywalny (jak to ma miejsce w otaczającej nas rzeczywistości), ceny kontraktów forward i futures teoretycznie nie są sobie równe. Szczegółowa analiza związku łączącego te dwie wielkości wykracza poza ramy tematyczne tej książki. Zależność tę można jednak zrozumieć rozważając sytuację,