92730

Chemia fizyczna - termodynamika molekularna 2009/2010 25

ć)H    dH

—— = q.    ~— = —p (dla7-tej współrzędnej uogólnionej)

ópj    ćq_j

Uwaga! Kropka nad symbolem oznacza pochodną po czasie.

Dla układu jV-cząstcczkowcgo będzie to 6N równań różniczkowych pierwszego rzędu.

4.    Zalety równań ruchu w postaci Hamiltona:

-    Forma niezależna od układu współrzędnych.

-    Równania są pierwszego rzędu, co ułatwia ich rozwiązanie.

-    Determinuje stan układu poprzez określenie energii, a nie sił (jak w przypadku równań Newtona).

5.    Przykład: ruch ciała w kierunku pionowym w polu grawitacyjnym Ziemi.

Dla współrzędnych (h.p - wysokość, pęd w jednym wymiarze), hamiltonian będzie miał postać

2

H{p,h) = £-+mgh 2 m

Równania Hamiltona mają formę: pl m- h mg =-/>

Całkując drugie równanie po czasie otrzymamy P(t) = p₀ -mgt

Podstawiając wynik do pierwszego równania dochodzimy do zależności, h = p₀/m-gt

która po scałkowaniu daje związek położenia (wysokości) z czasem

/i(f) = Aj + p₀t Im-\gC

Jak widać, rozwiązanie jest identyczne z tym. które zostało otrzymane dawno temu (w liceum) za pomocą równali Newtona.

6.    Stan mechaniczny układu można opisać za pomocą współrzędnych pędu i położenia

(P1.P2.......Pn.qi>q2......q_n)- Może on być zwizualizowany poprzez punkt w 6N-wymiarowej

przestrzeni położeń i pędów - tzw. przestrzeni fazowej. Ewolucja układu ^-cząsteczkowego może być zinterpretowana jako trajektoria tego punktu.

7.    Trajektoria fazowa dla przypadku rzutu pionowego Z równania na pęd (pkt. 5), wynika

_t=P»~P