262080039

Wykłady z Ekonometrii Opracował: dr Adam Kucharski

3.1 Współczynnik determinacji

Znając reszty z modelu można spróbować sobie odpowiedzieć czy zachowanie się zmiennych objaśniających dobrze odwzorowuje zachowanie zmiennej objaśnianej. Oczywiście można to zrobić, analizując każdą resztę z osobna¹. Jednak jakiekolwiek wnioski jesteśmy w stanie wyciągnąć tylko dla szeregów o niewielkiej liczbie obserwacji, kiedy nie przytłacza nas duża ilość danych. W pozostałych przypadkach konieczne staje się sięgnięcie po miary uśrednione.

Da się wykazać, że między wartościami empirycznymi, teoretycznymi a resztami zachodzi związek:

Ę«-?)² = Ę®-^?)²+E^e?    (s)

co można zapisać:

SST = SSR + SSE    (9)

gdzie:

SST - zmienność całkowita (suma kwadratów odchyleń wartości empirycznych od średniej arytmetycznej Y);

SSR - zmienność objaśniona (suma kwadratów odchyleń wartości teoretycznych od średniej arytmetycznej Y);

SSE - zmienność nieobjaśniona.

Dzieląc (9) stronami przez SST otrzymamy:

(10)

SSR SSE SST ⁺ SST

Element ggj, występujący w (10) nosi nazwę współczynnika determinacji i oznaczamy go symbolem: R². Jest to syntetyczna miara opisująca dopasowanie wartości teoretycznych do rzeczywistych. Przyjmuje wartości z przedziału (0, l)². Im bliżej 1 (100%) tym lepsze dopasowanie modelu do danych, a więc oszacowania są lepszej jakości. Dla i?² = 1 wszystkie punkty empiryczne należą do linii regresji (zaś wszystkie reszty są równe 0).

Tylko na pierwszy rzut oka wiadomo co to jest wysokie R², choć dążenie do jak najwyższych jego wartości jest zupełnie zrozumiałe. Interpretacja współczynnika determinacji jest możliwa, kiedy zachodzą następujące warunki:

1.    relacja między zmiennymi musi być liniowa;

2.    parametry muszą być szacowane przy pomocy MNK, gdyż inaczej współczynnik może przyjmować dowolne wartości;

3.    model musi zawierać wyraz wolny, w przeciwnym razie zachodzi: R² € (—oo, 1)

W modelach o więcej niż jednej zmiennej objaśniającej R² rośnie ze wzrostem liczby szacowanych parametrów. Aby uniknąć tej wady oblicza się skorygowany współczynnik determinacji:

i? = l-(l-K²)^i    (11)

n — k

Różnica między R² a R² rośnie ze wzrostem liczby zmiennych objaśniających. Skorygowany współczynnik determinacji ma następujące własności:

1. Jeżeli R² = 1 wówczas R² = 1.

1

'Pamiętając, że różnice między wartościami: rzeczywistą i teoretyczną powinny być jak najmniejsze.

2

Często praktykuje się podawanie wartości R² w procentach.

7 z 26