106 2

210 X. Badanie przebiegu zmienności funkcji

L — indukcyjność, t — czas liczony od chwili zamknięcia obwodu. Sporządzić \vyk_r funkcji /=/(/)•

Rozwiązanie. Funkcja (1) jest określona i ciągła dla wszystkich wartości t. Obliczamy pierwszą pochodną

__ _ -_T'

dt L^e

di

^L-^rUUL—

fi L Rys. 10.28

Pochodna ta jest zawsze dodatnia, a więc funkcja i=f{l) jest stale rosnąca.

Obliczamy granicę funkcji przy f-» + co:

lim

f-» + OC

Układamy tabelkę przebiegu zmienności funkcji /(/):

t	0		4- co
di/dt	+	+	+
'/(/)	0	/•	E/R

Krzywa ma asymptotę poziomą i=EjR (rys. 10.29).

Zadanie 10.29. Kamień rzucony pionowo do góry z pewną prędkością początkową t₀ wznosi się w ciągu czasu t na wysokość h, daną równaniem

h= -5i² + 50r.

Znaleźć: a) prędkość w chwili f = 0, b) czas wznoszenia się kamienia, c) największe wzniesienie.

Rozwiązanie, a) Prędkość początkowa (przy ? = 0):

0=— =50-101,    u(0) = 50.

b)    Kamień osiąga punkt najwyższy, gdy

dh _n

v——=0, czyli t = 5. dt

_c)    Największe wzniesienie:

/i (5 j = 50 • 5 - 5 ■ 5² = 125.

Zadanie 10.30. Przy rzucie ukośnym ciało zakreśla tor o równaniu

y~^x~ 400 ^x

(pomijamy opór powietrza). Znaleźć maksymalne wzniesienie ciała.

Rozwiązanie. Obliczamy pochodną

Ji-i—L.,

dx ⁱ⁰°

Ciało osiąga wzniesienie maksymalne, gdy dy[dx=0, czyli x = 200. Maksymalne wzniesienie wynosi

y_m„=200-j^-200² = 100.

Zadanie 10.31. Dla pewnej turbiny dana jest zależność mocy od jej obrotów:

N=- 0,0010344 «² + 0,45543 n,

gdzie n oznacza ilość obrotów na minutę, N — moc w koniach mechanicznych. Przy jakich obrotach moc turbiny osiąga wartość maksymalną i ile ona wynosi?

Rozwiązanie. Obliczamy pochodną

— = - 2 • 0,0010344n + 0,45543. dn

Obliczamy, przy jakiej wartości funkcja N(n) osiąga ekstremum:

dN    0,45543

-= 0,    gdy n=-=220.

dn    0,0020688

Znieważ d²N/dn²< 0, więc przy n = 220 turbina osiąga moc maksymalną, która wynosi *m« = 50,13 KM.

Zadanie 10.32. Pomiędzy ciepłem właściwym wody przy temperaturze t a tą tempera-^tUrą została ustalona zależność

c = 1,0060562 - 0,000599201 t + 0,0000105884 Z².

Obliczyć temperaturę, przy której ciepło właściwe wody c osiąga wartość najmniejszą ¹ ona wynosi.