Cialkoskrypt6

210 3. Kinematyka płynu

Strumień masy płynu

rh = p 7tR²(-~kR² +1) = 7tpR²(l-~kR²).

Gdy k > 4, rh < 0 , a to oznacza przepływ w kierunku przeciwnym do przyjętego zwrotu osi z.

ZADANIE 3.10.15

Przez rurę o średnicy D przepływa płyn z prędkością daną w postaci: v = zx i -2ayz j+az²k,

gdzie a jest parametrem. Wyznaczyć na podstawie zasady zachowania masy parametr a, wiedząc, że płyn jest nieściśliwy.

Rozwiązanie

Z ogólnej formuły równania ciągłości przepływu mamy:

dp ₍ d(pv_x) _| d(pv_y) ^ 5(pv_z) _ _Q ^ av_x ,    , dv_z _ _Q

dt dx. dy dz    dx dy dz

Jeśli składowe prędkości są następujące:

v_x=zx, v_y=-2ayz, v_z=2az²,

to po ich podstawieniu do powyższgo równania ciągłości przepływu otrzymujemy:

z-2az + 4az = 0, z(l + 2a) = 0, a = -~.

Zatem wektor prędkości V opisuje stacjonarny ruch płynu nieściśliwego, jeśli a --1/2.

ZADANIE 3.10.16

Sprawdzić, czy dane pole prędkości:

może być polem prędkości przepływu płynu nieściśliwego.

Rozwiązanie

Należy sprawdzić, czy pole prędkości opisane wektorem: V = Tv_x + j v_y + kv_z spełnia równanie ciągłości przepływu dla p = const. Równanie ciągłości przepływu ma postać:

do    ^p=const

—+ div(pv) = 0    ₌^> divv = 0.

dt

Zatem sprawdzamy, czy równanie ciągłości przepływu jest spełnione:

dv„    2yz(y² -3x²)    _ 2yz(3x²-y²) 3v, _p

9*    (s^y²)³ ’    (x² +y²)² ’    ^&

stąd

divv = ■ ^2yz(^yi -^3x2-)- ^2yz(^3x~ ~^yZ) ₊ 0 = 0 (x²+y²r    (x² +y²f

Warunek div v = 0 jest więc spełniony.

ZADANIE 3.10.17

Dla przepływu ustalonego bezźródłowego płynu nieściśliwego dane są rzuty wektora prędkości w kierunku osi 0x i Oy: v_x =5x; v_y = -3y.Wyznaczyć rzut wektora prędkości w kierunku osi Oz, jeśli wartość prędkości wypadkowej

jvj = ^25x² + 9y² + 4z² .

Rozwiązanie

Pole przyspieszeń określimy ze wzoru na pochodną substancjalną

. dv 5v    dv dv    dv

a = — = — + v„--i-v_v — + v —.

dt    dt    dx    ^y dy    dz

Dla płynu nieściśliwego wektor prędkości spełnia równanie divv = 0. Po podstawieniu otrzymujemy więc:

5 - 3 + — = 0, dz

skąd wynika, że

^ = -2,

dz

a po scałkowaniu

v_z = -2z + C(x,y).

Stąd

|vj‘ = v² + v² + v² = 25x² + 9y² + (-2z + C)² = 25x² + 9y² = 4z² - 4zC + C²,

a z treści zadania wiadomo, że