Matematyka 2 93

392 V Elementy rachunku pmwJoputliMemtwa

TWIERDZENIE 7.8. Współczynnik korelacji p_XY ma następujące własności (a. h, c, d - stałe, a*0, b*0)

pl

E(XY)-EX EY

a_va

PXY ~

X^yjY

p2. Pax«.bY-j⁼PxY-^sKn(ub). gdzie sgnx =

-I.gdy *<0

0.    gdy x = 0

1,    gdy x>0,

p3. |p_XY|<l, przy tym |p_XY|= I wtedy i tylko wtedy gdy z pr-stwem 1 ZL X, Y są związane zależnością liniową: P(aX-rbY+c=0) = l

Twierdzenie przeciwstawne do twierdzenia 7.7 orzeka: jeśli Px.v*0, to ZL X. Y są (stochastycznie) zależne. W szczególności, gdy IPx.vl osiąga wartość maksymalną |p_{x v}|- I, to X. Y są, zgodnie z własnością p3, z pr-stwem 1 związane zależnością liniową. Jeśli |p_{X Y}| mało różni się od jedności, lo wartości (\.yj \VL (X.Y) są (z pr-stwem I) bardzo skupione wokół pewnej prostej. Zatem współczynnik korelacji p_XY można interpaUowuć jako miarę stopnia zależności I i n i o w ej ZL X i Y.

PRZYKŁAD 7.12. Doświadczenie polega na rzucie dwiema rzetelnymi kostkami sześciennymi i obserwacji liczby "wyrzuconych" na nich oczek. Określamy ZL: X - liczba wyrzuconych szóstek, Y - liczba wyrzuconych parzystych oczek. Wyznaczymy: a) funkcję pr-stwa WL (X.Y). b)cov(X*Y), c) Var(X + Y),Var(X-Y). d)p_xv.

a) Budujemy PP (Q_lC^.P) Przestrzenią zdarzeń elementarnych

jest zbiór Q=|(i,j): i,j= 1.2.....6}. Q = 6^:=36; zbiorem zdarzeń jest

£	°	1	2	Pj
0	9/36	0	0	9/36
1	12/36	6/36	0	18/36
2	4/36	4/36	1/36	9/36
P.	25/36	10/36	1/36	1

rodzina cA wszystkich podzbiorów zbioru Q: pr-stwem P - pr-stwo zgodne z definicją klasyczną. Funkcja pr-stwa WL (X,Y) jest opisana następującą tabelą (bez ostatniego wiersza i ostatnia kolumny).

Pokażemy sposób obliczania lylko części pr-stw p₍₎: p₁₎₀=P(X=0.Y=0} = P({l I, 13. 15. 31. 33. 35. 51. 53. 55})*9/36. p,,- P(X = 1.Y=1) = P(|16. 36. 56. 65. 63. ól})=6/36. p_I: = P(X = l.Y - 2) = P({26, 46. 64, 62}) = 4/36.

b) cov(X.Y)- { własność Cl } = E(XY)- EX EY. EX== 12/36=1/3. EY = Xy_jP) = l.

y.

cov(X.Y)=l-I|=l/6.

H(XY,= Xx.yjP_g = l'4^2^²-2^=i|4.

c)EX^:-^xfp, = 14/36=7/18. VarX= P.X²-(EX)²=-^= ||

EY^: = SyfP» = M = l- VarY = nY² -(HY)= =|-1'= ^^;

V,

Var( X+Y )= VarX + VarY+2cov(X,Y)=A+4+² 4=TT.

18 2    6    9

Var(X-Y)= VarX+VarY-2cov(X,Y)=-4f+4^-24⁼K-

lb 2    6    9

„ . cov(X,Y) \ l-Ji K 1 _ „ ,_e Px.v ~Z~Z 6 ~^5f "“² ” V5 ^'45'

a.cr_y

PRZYKŁAD 7.13 Dla \V\ (X.Y) z przykładu 7.4 wyznaczymy: a)cov(X.Y). b) p_tv.

a) Korzystając z wcześniejszych obliczeń, otrzymujemy:

EX = Jx x'dx = iyŹLs: 1.13 . o

/2    r-

EY- Jy.y<2-y^J)dy=^-.0.75,

U

Ą \    ₈

E(XY) = j l jxy 2xydv]dx = - = 0.89,

v2    r

4/2

o o