SWScan00038

64 Kontrakty terminowe i opcje

kuponowej ze sprzedanej uprzednio obligacji. Pozostałe 861,77 dolara zostanie zainwestowane na okres dwunastu miesięcy według stopy 10 procent i na końcu tego okresu osiągnie wartość 952,4 dolara. Z sumy tej 40 dolarów równe jest drugiej płatności kuponowej, która zostałaby otrzymana przez inwestora, gdyby ten nie sprzedał obligacji, a 905 dolarów to cena terminowa wydatkowana w celu odkupienia obligacji. W ten sposób dodatkowy zysk inwestora, w porównaniu do strategii ciągłego zajmowania pozycji długiej w obligacji, wynosi 7,4 dolara (= 952,4 $ - 40 S - 905 $). Powyższa strategia podsumowana została w tabeli 3.6.

Jeśli cenę terminową oznaczymy jako F, to strategia przedstawiona w tabeli 3.5 przyniesie zysk, gdy F> 912,4, podczas gdy strategia z tabeli 3.6 będzie korzystna tylko wtedy, gdy F< 912,4. Wynika z tego, że jeśli korzystny arbitraż jest niemożliwy, cena terminowa musi być równa 912,4 dolara.

Uogólnienie

Aby uogólnić wnioski płynące z tego przykładu przeanalizujmy kontrakt forward opiewający na papier wartościowy przynoszący dochód o wartości bieżącej równej I. Rozważmy sytuację inwestora, który stosuje poniższą strategię.

1.    Kupno papieru wartościowego.

2.    Zajęcie krótkiej pozycji w kontrakcie forward.

W momencie zajęcia pozycji w kontrakcie forward jego wartość wynosi zero, w związku z czym początkowy koszt strategii ogranicza się do ceny papieru wartościowego, czyli S. Strategia daje inwestorowi dochód o wartości bieżącej równej I oraz przychody, które po upływie czasu T równe są cenie terminowej F. Jeśli porównamy początkowy koszt strategii oraz bieżącą wartość przychodów gotówkowych, to otrzymamy równanie:

S = 1 + Fe~^rT

lub

F = (S- I)e^rT    (3.6)

W rozważanym wcześniej przykładzie S = 900, / = 74,43, a r = 04 , a więc:

F = (900 - 74,43)e^0,1 = 912,4

Przykład

Rozważmy dziesięciomiesięczny kontrakt forward opiewający na akcje, których aktualna cena wynosi 50 dolarów. Przyjmijmy jednocześnie, że wolna od ryzyka stopa procentowa (kapitalizowana w sposób ciągły) jest równa 8 procent w skali roku, a krzywa przedstawiająca strukturę czasową stóp procentowych (term structure) jest płaska. Załóżmy także, że po trzech, sześciu i dziewięciu miesiącach oczekiwane są wypłaty dywidendy w wielkości 0,75 dolara na akcję. Wartość bieżąca dywidend (/) wynosi:

/ = 0,75<f ⁰⁰² +O,75e^_004 + 0,75*f⁰⁰⁶ = 24 62

Zmienna T jest równa 0,8333 roku, a więc stosując równanie (3.6) uzyskamy następującą wartość ceny terminowej F:

F = (50 - 24 62) e^008x0'*³³³ = 51,14

Jeżeli cena terminowa byłaby niższa, zaistniałaby możliwość dokonania transakcji arbitrażowej: inwestor sprzedałby akcje jednocześnie kupując kontrakty forward. Podobna możliwość powstałaby w sytuacji, gdy rynkowa cena terminowa byłaby wyższa od obliczonej, tyle tylko że inwestor sprzedałby kontrakty forward jednocześnie kupując akcje.

Ceny kontraktu forward na papiery

WARTOŚCIOWE O ZNANEJ STOPIE DYWIDENDY

W dalszej części książki pokażemy, że zarówno waluty, jak i indeksy giełdowe można traktować jako papiery wartościowe, z których płacona jest dywidenda o znanej stopie. W niniejszej części przedstawimy jedynie ogólną analizę kontraktów forward opiewających na taki rodzaj walorów.

Znana stopa dywidendy oznacza, że znany jest dochód z danego waloru wyrażony jako procent jego ceny. Załóżmy, że dywidenda płacona jest w sposób ciągły przy stopie q w skali rocznej. Aby zilustrować znaczenie naszego założenia, rozważmy przykład, w którym q = 0,05, czyli stopa dywidendy jest równa 5 procent w skali roku. Jeśli cena papieru wartościowego kształtuje się na poziomie 10 dolarów, to dywidenda płacona w następnym minimalnym przedziale czasowym wyniesie 50 centów w skali roku, jeśli zaś cena papieru jest równa 100 dolarów, to dywidenda przypadająca na następny bardzo krótki przedział czasowy wyniesie już 5 dolarów w skali roku itd. W praktyce dywidendy nie są wypłacane w sposób ciągły, mimo to takie założenie jest często dobrym przybliżeniem rzeczywistości.

Rozważmy sytuację inwestora stosującego poniższą strategię:

1.    Kupno e~^qT jednostek papieru wartościowego przy założeniu reinwestycji dochodu w te same walory.

2.    Sprzedaż kontraktu forward.

Wartość pozycji w papierach wartościowych wzrasta według stopy procentowej q do e~^qr x e^qT, a więc w chwili T inwestor jest posiadaczem dokładnie jednej jednostki papieru wartościowego¹. Według warunków umowy forward walor jest sprzedawany w czasie T po uzgodnionej

1

W przykładzie tym pojawia się nierealistyczne założenie, że akcja jest podzielna. Jeśli jednak pomnożymy liczbę papierów wartościowych w obu portfelach przez 100, 10 000 lub 1 000 000, będziemy mogli przyjąć, że tezy powyższych rozważań są prawdziwe. Aby zilustrować fakt. że przy założeniu reinwestycji otrzymywanej dywidendy liczebność walorów w portfelu wzrasta według stopy q przyjmijmy, że cena akcji jest równa 100 dolarów, stopa dywidendy q to 5 procent w skali roku, a rozważany minimalny okres wynosi 0,02 roku. Jeśli jesteśmy posiadaczami 10 000 akcji, otrzymana w tym okresie dywidenda będzie równa 1000 dolarów (=» 10000 x 100$ x 0,05 x 0,02). Umożliwia to zakup dziesięciu nowych akcji, co oznacza wzrost liczby walorów o 0,01 procent. Jest to zgodne z przyjętą stopą wzrostu równą 5 procent w skali roku.