Zarz Ryz Finans R1267

12. Elementarz opcji 367

Cena akcji w dniu	Wartość opcji kupna
wygaśnięcia opcji	w dniu wygaśnięcia
105 USD	5 USD
95	0

Jeśli jednak zastanawiamy się nad tym, czy sprzedać (lub kupić) taką opcję kupna, interesuje nas nie tyle jej wartość w dniu wygaśnięcia, ile wartość dzisiejsza. Wartość tę próbowało bezpośrednio ustalić paru bardzo bystrych ludzi... i nie udało się im to"’. Metoda, którą tu przedstawimy, opiera się na modelu Fischera Blacka i Myrona Scholesa: zamiast podejmować próby odrębnej wyceny opcji, posłużymy się wyceną portfela arbitrażowego zawierającego tę opcję.

Portfelem arbitrażowym nazywamy portfel bezpieczny. Skonstruujmy taki portfel z dwóch walorów obarczonych ryzykiem - dowolnej akcji oraz opcji kupna tejże akcji. W portfelu takim zysk osiągnięty na jednym walorze jest dokładnie równoważony stratą na drugim. Jak widać z poniższej tabeli, w analizowanym przypadku portfel taki można utworzyć łącząc długą pozycję w jednej akcji oraz krótką pozycję w dwóch opcjach kupna:

S	C	2C	S-2C
105	5	10	95
95	0	0	95

Jak widać, wartość tego portfela (S - 2C) wyniesie 95 USD bez względu na wartość akcji. Skonstruowaliśmy zatem portfel, który jest całkowicie bezpieczny. (Zob. przykład 12.3).

W dalszej części tej analizy będziemy się posługiwać współczynnikiem zabezpieczenia (A) określonym jako odwrotność liczby opcji kupna koniecznych do utworzenia portfela arbitrażowego:

A = l/N    (12.14)

Tak więc w analizowanym przypadku współczynnik zabezpieczenia A = 1/2.

W dniu 0 wartość akcji wynosi 100 USD; wartość portfela arbitrażowego (S - 2C) wynosi 100 - 2C, co podkreśla fakt, że wartość opcji kupna w dniu 0 nie jest jak dotąd znana. Wiemy jednak, że w dniu 1 wartość portfela wynosi 95. Wiemy zatem również, że:

_ (100-2C)_itócńH>95_d2ieńl

^1,1 Bachelier (1900), Bierman (1967), Boness (1964), Hausman i Wbite (1968), Samuelson i Merton (1969) oraz Thorpe i Kassouf (1967).