Zarz Ryz Finans R1277

12. Elementarz opcji 377

w poprzednim przypadku, wartość opcji w dniu wygaśnięcia może wynosić nawet 100 USD - przedterminowe wykonanie nie musi zatem być działaniem optymalnym. Opcja będzie jednak warta 100 USD tylko wtedy, gdy cena akcji spadnie do zera. Gdyby natomiast w dniu wygaśnięcia cena akcji wynosiła 5 USD, wartość opcji byłaby równa 95 USD, toteż lepiej byłoby wykonać ją przedterminowo. Tak więc w tym przypadku przedterminowe wykonanie amerykańskiej opcji sprzedaży może, lecz nie musi być działaniem optymalnym -w zależności od rozkładu prawdopodobieństwa cen akcji.

Wniosek z powyższej analizy jest następujący: w celu określenia wartości amerykańskiej opcji sprzedaży trzeba ustalić, czy przedterminowe wykonanie opcji w którymkolwiek dniu przed datą wygaśnięcia byłoby działaniem optymalnym. Ponieważ nie istnieje jednolity wzór przynoszący odpowiedź na to pytanie, mamy tu do czynienia z problemem iteracyjnej aproksymacji numerycznej, przypominającym nieco rozważane wcześniej drzewko dwumianowe: najpierw sprawdzamy, czy byłoby optymalne wykonanie opcji na dzień przed datą wygaśnięcia, potem o dzień wcześniej, potem jeszcze o dzień wcześniej i tak dalej.

Co ciekawe, dywidendy, które utrudniają wycenę amerykańskich opcji kupna (ponieważ mogą spowodować, że przedterminowe wykonanie będzie działaniem optymalnym), ułatwiają zarazem wycenę amerykańskich opcji sprzedaży. Jak już zauważyliśmy, amerykańskie opcje sprzedaży są wykonywane przedterminowo tylko wtedy, gdy dochodzi do wystarczająco dużego spadku ceny akcji. Wskazaliśmy też, że w przypadku akcji nie przynoszących dywidendy musimy sprawdzić to dla każdego dnia sesyjnego przed datą wygaśnięcia opcji. Natomiast w przypadku akcji przynoszących dywidendę przewidywalny spadek ceny w dniu ustalenia prawa do dywidendy sprawia, że prawdopodobieństwo optymalnego przedterminowego wykonania opcji jest najwyższe w tym właśnie dniu. Tak więc poprawną wartość amerykańskich opcji sprzedaży akcji przynoszących dywidendę można ustalić z dobrym przybliżeniem, rozważając przedterminowe ich wykonanie jedynie w ograniczonej liczbie pozostałych jeszcze dni ustalania prawa do dywidendy.