0272

274

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

a zbieżność obydwu szeregów pociągałaby — z uwagi na drugą z tych równości —zbieżność szeregu (A*) wbrew założeniu, że zbieżność jest tylko warunkowa.

Udowodnimy teraz następujące godne uwagi twierdzenie należące do Riemanna.

Twierdzenie Riemanna. Jeżeli szereg (A) jest zbieżny warunkowo, to dla każdej z góry danej liczby B (skończonej lub równej + oo) można wyrazy tego szeregu tak poprzestawiać, by przekształcony szereg miał sumę równą B.

Dowód. Zatrzymamy się na przypadku B skończonego. Zauważmy przede wszystkim, że z rozbieżności szeregów (P) i (Q) wynika na mocy 364, 1° to, że ich wszystkie reszty są też rozbieżne, a więc w każdym z tych szeregów, poczynając od dowolnego miejsca, można zawsze wziąć tyle wyrazów, by ich suma przekroczyła dowolną liczbę.

Korzystając z tej uwagi dokonamy przestawienia wyrazów szeregu (A) w sposób następujący.

Najpierw weźmiemy tyle wyrazów dodatnich naszego szeregu (w takiej kolejności, w jakiej występują), aby ich suma przekroczyła B :

P1+P2+ ■■■ +Pk_t > B.

W ślad za nimi wypiszemy wyrazy ujemne (także w takiej kolejności w jakiej występują), biorąc ich tyle, by ogólna suma była mniejsza od B:

P1+P2 + - +P*,-4i-42- ~<łm < B.

Dalej umieścimy znowu wyrazy dodatnie (spośród pozostałych) tak, aby zachodziła nierówność

Pl + ... +P_kl—qi— —9m,+Pt,+l + ••• +Pkj > B.

Następnie weźmiemy tyle wyrazów ujemnych (spośród pozostałych), by było

Pl+ — +Pk,-qi- — -«m.+P*, +1+ .» +Pk₂~qm,-1- ... -<?m, < B itd. Proces ten kontynuujemy nieskończenie; jest oczywiste, że każdy wyraz szeregu (A), i to ze swym znakiem, wystąpi na pewnym określonym miejscu.

Jeżeli za każdym razem, gdy wypisujemy wyrazy p i q weźmiemy ich nie więcej niż jest to konieczne dla osiągnięcia żądanej nierówności, to odchylenie od liczby B w tę lub inną stronę nie przekroczy co do wartości bezwzględnej ostatniego wypisanego wyrazu. Wówczas z (2) wynika jasno, że szereg

(Pi + ... +Pk,)~(qi + ••• +q_m)+ ••• +(p*₍__l+1+ ••• +P*,)^_(€m,__l+i+ ... +2mj)+ ...

ma sumę równą B. Na mocy uwagi z ustępu 386 pozostaje to słuszne także po otwarciu nawiasów.

Jeżeli B = +00, to bierzemy ciąg rosnących do nieskończoności liczb B_t i możemy od wyboru dodatnich wyrazów szeregu zażądać, by sumy były kolejno większe od B_ly B₂, B₃ itd., a wyrazy ujemne umieszczać po jednym po każdej grupie wyrazów dodatnich. W ten sposób utworzy się oczywiście szereg mający sumę równą +00. Analogicznie można też utworzyć szereg o sumie — 00 (').

(‘) Czytelnik sam łatwo się domyśli jak porozmieszczać wyrazy danego szeregu, aby sumy częściowe przekształconego szeregu miały jako granicę dolną i granicę górną dwie z góry przyjęte liczby B i C>B.