0336

338

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Następnie

CO    00

i

*²(*+l)(*+2)(*+3)

itd. Po p krokach otrzymujemy

<“»    27r-¹⁺ir + ^+- + 7r+'^lŚ

krni    k-1

Korzystamy przy tym stale ze znanego już nam wzoru

1

*²(*+l)... (*+p)

1

-u! ’

Z_i k (Ai+1) ... (*+p-l) {k+p) p-pl

kal

który jest szczególnym przypadkiem — dla oc — O — związku wyprowadzonego w 363, 4).

co

W ten sposób obliczenie sumy wolno zbieżnego szeregu £ 1 jk¹ sprowadza się do obliczenia sumy

»-i

p jego wyrazów i sumy szeregu, który jest szybko zbieżny nawet przy niedużych wartościach p.

Podamy jeszcze jeden bardziej skomplikowany przykład.

Oznaczmy przez S_p {p — liczba naturalna) sumę szeregu

CD

V    1

Z_i *²(*+l)²...(*+p-l)²

k-l

Przy nie określonym na razie y zachodzi równość

_k+y___fc+l+y__ (2p—l) k¹ +p{p+2y) k+yp²

*²(A:+1)² ... {k+p-1)²    (A:+l)²(A:+2)² ... (k+p)²    k\k+l)² ... {k+p-l)²{k+p)²

Widać stąd, że oczywiście (przy k -*■ co)

hl-

2p — \ L k²{k + \)² ... {k+p-l)¹    (*+l)²(*+2)² ... {k+p)² J *²(*+l)² ... {k+p~\)² '

Jeśli zastąpimy wyrazy szeregu S_r tymi równoważnymi z nimi różnicami, to otrzymamy szereg, którego sumę równą

1__1+y

2p-l ‘ (1 • 2• 3• ... p)² *

łatwo jest obliczyć. Dopełniąjący (przekształcony) szereg będzie miał wyraz ogólny

1 T    k+y___Ł+l+y_1    1

)² J

[^;p-i^^(,+wWk--2£r1

*²(*+l)² ...(K+p)²

Teraz skorzystamy z dowolności y i dobierzemy je tak, żeby w liczniku znikł wyraz zawierający k, tzn.

weźmiemy

Uwzględniając wszystko, co powiedzieliśmy, otrzymamy dla szeregu S, następujący wzór na przekształcenie:

OD

S_p

3P

2{2p-\){p\)²    2{2p-l)

‘Sf+i.