0340

342

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

dowolność wyboru wyjściowego rozwinięcia pozostawiała otwartą drogę do tego, by z innego rozwinięcia, powiedzmy

l+x + ... +x"^,_1 l+x+ ... +X"-¹

l-x™

l-x"

l-x^m+x"-x"^+M + x²"- ...

(gdzie m i n są dowolnymi liczbami naturalnymi spełniającymi nierówność m < n), otrzy mać równocześnie

2! ₌ 1_₁ + 1_₁ + l_... n

Współczesna analiza stawia zagadnienie inaczej. Za podstawę bierze się pewną ściśle sformułowaną definicję sumy uogólnionej szeregu, nie wymyśloną tylko dla danego konkretnego szeregu, lecz mającą zastosowanie dla całej klasy takich szeregów. Dopuszczalność tego nie wywołuje wątpliwości: czytelnik musi wszak pamiętać, że nawet zwykłe pojęcie sumy szeregu, choćby się wydawało nie wiadomo jak proste i naturalne, zostało także wprowadzone za pomocą przyjętej umownie definicji, uzasadnionej tylko swą celowością. Definicji sumy uogólnionej stawia się zwykle dwa żądania.

Po pierwsze, jeżeli szeregowi jest przypisana suma uogólniona A, a szeregowi 2*. — uogólniona suma B, to szereg 'Zpa_m+qb_H, gdzie p i ą są to dowolne stałe, powinien mieć sumę uogólnioną równą pA +qB. Metoda sumowania spełniająca ten warunek nazywa się liniowa.

Po drugie, nowa definicja powinna obejmować starą jako przypadek szczególno. Mówiąc dokładniej, szereg zbieżny w zwykłym sensie mający sumę A, powinien miey sumę uogólnioną i do tego także równą A. Metoda sumowania mająca tę własność nazywa się regularna.

Oczywiście ciekawe są tylko takie regularne metody sumowania, które pozwalaą znaleźć sumę w szerszej klasie szeregów, niż metoda zwykła. Tylko w tym przypadku mamy pełne prawo mówić o sumowaniu uogólnionym.

Przejdziemy teraz bezpośrednio do omówienia dwóch szczególnie ważnych z punktuj widzenia zastosowań metod „sumowania uogólnionego”.

418. Metoda szeregów potęgowych. Metoda ta w istocie swej pochodzi od Poissona. który pierwszy spróbował ją zastosować do szeregów trygonometrycznych.

Dla danego szeregu liczbowego (A) tworzymy szereg potęgowy

00

(1)    ^fl,x" = flo+fli x + a₂ x²+ ... +a„xⁿ+ ...

n= 1

Jeżeli szereg ten jest zbieżny dla 0 < x < 1, a jego suma/(x) ma dla x -> 1-0 granicę A, tzn.

lim /(x) = A ,

*-1-0

to liczbę A nazywamy uogólnioną sumą (w sensie Poissona) danego szeregu (A).