0348

350

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

metodą średnich arytmetycznych podany na początku ustępu, nie można tu stosować tej metody. Tymczasem szereg

l-2x+3x^a-4x³ + ...

ma dla 0 < x < 1 sumę 1/(1 +x)², która dąży do granicy 1/4, gdy x -» 1 -0. Ta liczba będzie więc uogólnioną sumą naszego szeregu w sensie Poissona-Abela.

Metoda Poissona-Abela jest więc silniejsza, tzn. da się zastosować w szerszej klasie przypadków niż metoda Cesary, jest z nią jednak zgodna w tych przypadkach, gdy obie dają się zastosować.

422. Twiedzenie Hardy’ego-Landana. Tak samo jak w przypadku metody Poissona-Abela, dla metody Cesary można także udowodnić twierdzenia typu tauberowskiego, ustalające te dodatkowe warunki dla wyrazów szeregu, przy spełnianiu których z sumowalności szeregu metodą średnich arytmetycznych wynika już zbieżność szeregu w zwykłym sensie.

Na mocy twierdzenia Frobeniusa jest jasne, że każde twierdzenie tauberowskie dla metody Poissona-Abela daje w szczególności takie samo twierdzenie dla metody Cesary. Na przykład samo twierdzenie Taubera w przypadku metody Cesary brzmi tak: jeżeli a ,-¹■ A i spełniony jest warunek

(9)    lim ««+2«»+.- +”¹• = o,

to takie A. -¹■ A. Zresztą wynika ono tutaj bezpośrednio z łatwej do sprawdzenia tożsamości

A.-a. = ¹,⁺²¹s+ ••• +"«■. (i), n

która w danym przypadku pokazuje nawet, że warunek (9) jest konieczny.

Hardy ustalił, że wnioskować z «„ -¹• A, że A_n A, można nie tylko wtedy, gdy o„ = o (1/n), co jest zawarte w poprzednim, ale także przy słabszym założeniu, że

Imaj < C (C = const; m = 1, 2, 3,...).

Landau, wykazał, że można się zadowolić nawet jednostronnym spełnieniem tej nierówności.

Jeżeli szereg (A) jest sumowalny do sumy A metodą średnich arytmetycznych i jest przy tym spełniony warunek

ma_m > —C (C = const; m = 1,2,3,...),

to także

OJ

2^fl" “^A ■

■-0

(Zmieniając znaki wszystkich wyrazów szeregu widzimy, że dostateczne jest także założenie nierówności przeciwnej

ma_n < C.

W szczególności twierdzenie jest oczywiście słuszne dla szeregów o wyrazach stałego znaku).

Dla dowodu rozpatrzmy najpierw sumę

n+k

5= 2 A_m,

ffi-n+ł

gdzie n i k są dowolnymi liczbami naturalnymi. Przez przekształcenie tożsamościowe możemy tę sumę sprowadzić łatwo do postaci

fl-tfc    H

(10)    ^{s =} 2^Am~ 2 ^{Am =} (»+¹+•)««+»-(»+u¹. = ¹<¹«+¹+("+i)(«»+i-«„).

m~Ó    m-0

1

Mamy

(n+1) 4, —(n+1) ¹, = (n+1) A„ — (Ao + Ai + ... +A_n) — (A_n — Ao)-i-(A_n — A_t)+ ... + (A„ — A,-_t) — =” (oi+ai+ ... +o«)+(oa+ ••• +o»)+ ••• +o« = aH 2a_t+ ... +/ia„.