0408

410

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

i ogólnie

(ll)    y* = y*W — yo+<p(*,y,-i) ■

Właśnie te funkcje

yAx), y₂(x)..... y.( x),

dają kolejne przybliżenia szukanej funkcji y (x).

Co prawda pozostaje jeszcze do sprawdzenia, czy żadna z nich nie wychodzi poza przedział <y₀—4, y₀+A). W przeciwnym bowiem przypadku, gdyby któraś z nich wyszła z tego przedziału, nie można jej podstawić za y po prawej stronie równania (7*).

Wykażemy to za pomocą indukcji. Przypuśćmy, że

yo-A <y.~i < yo+A .

Z (11)

y.-yo — pU, y»-t),

lecz

l?> (x, y„-1)| < lv> (x, y,-i)-<p (x, y₀)l+l9> (jr,y₀)l.

Pierwszy składnik po prawej stronie przekształca się według twierdzenia o wartości średniej i na podstawie (9) jest

I<P (x,y»-\)-<p(,x, y₀)| — |f’>'₎(x, ijHy.-,—y₀)l < X A , drugi zaś jest mniejszy od (1 — A) A z uwagi na (10), a więc razem

ly.-yol < A4 + 0-A) zł = A ,

co kończy dowód.

Jednocześnie dowodzimy metodą indukcji, że wszystkie skonstruowane w ten sposób funkcje są ciągłe.

Zajmijmy się teraz granicą ciągu funkcyjnego {y„}. Wygodniej jednak rozpatrywać szereg

(1^)    yo+ (y*-y,-0 ■

A“ 1

Z samego określenia naszego ciągu widać, że

y. —y.-1 = <f (x, y,-,)-? (x, y„-₂).

Korzystając znów z twierdzenia o wartości średniej i nierówności (9) otrzymujemy

\y,—y*-i \ < X\y,-,-y„-₂\.

Stąd, zastępując n przez n— I, n—2, itd. z uwagi na (10) otrzymujemy ostatecznie:

\y*-y*-A < X"-' 'bi-yol < A"-¹ (l-A)zj.

Szereg (12) jest więc zmąjoryzowany przez postęp geometryczny

(13)    (l-A)J-f]A«-',

1

«

a zatem szereg ten jest zbieżny, przy czym jednostajnie dla wszystkich wartości x w przedziale <x₀—6, x₀+óy. Na mocy twierdzenia 1 z ustępu 431 również funkcja graniczna

y - y to — lim y. (x)

jest ciągła w tym przedziale.