0424

426

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

A więc

In-

■ = I-i-*- -L **__!_**_ ... 2    12    24

1 —x

2) Znaleźć rozwinięcie tg x w otoczeniu zera, rozpatrując tg x jako iloraz sin x i cos x, których rozwinięcia są znane [404, (12) i (13)].

Istnienie takiego rozwinięcia jest już z góry zagwarantowane przez ogólne twierdzenie. Ponieważ tg x jest funkcją nieparzystą więc jego rozwinięcie zawiera tylko nieparzyste potęgi x. Współczynnik przy

x

lm-l

szukanego rozwinięcia wygodnie jest zapisać w postaci

T.

(2i»—1)!

Mamy więc

dl)

tg*

co

_Ł

(2/1—1)

oraz

Oczywiście T_t = 1. Dla obliczenia pozostałych liczb T, otrzymamy, porównując współczynniki przy jc²"^-1 po lewej i prawej stronie, ciąg równań postaci:

T.-i

1

1

(2n—1)!

... =(-D-‘.

(« = 2, 3,...)

(2»—3)!    2!    (2«-5)!    4!

lub po pomnożeniu przez (2#i—1)!:

T_m- (^J7‘) T.-i + (*7‘) T.-

Ponieważ wszystkie liczby (^z*iT') ^s4 całkowite, więc przekonujemy się kolejno, że współczynniki T, są także liczbami całkowitymi. Oto wartości kilku pierwszych spośród nich:

Ti = 1, r₂ = 2, r, = 16, Tm = 272, T_s = 7936,    ...

Tak więc

**-*+£*•+£*■+&*’+ £.*+ ...

W następnym ustępie podamy inny sposób obliczenia współczynników tego rozwinięcia i dokładnie ustalimy obszar jego stosowalności.

449. liczby Bernoulliego i rozwinięcia, w których występują. Rozpatrzmy jeszcze jeden przykład dzielenia, który będzie miał ważne zastosowania:

xx    1

e^x-\

*+4r+ - +-^£r+ -

2!    n!

1+JL+ ... +• 2!

n!

Zgodnie z ogólną tezą ustępu 448 iloraz ten, przynajmniej dla dostatecznie małych wartości x, można przedstawić w postaci szeregu potęgowego

(12)

—— = i+ V

e*—l Z_i u!

O

Jego współczynniki przedstawiliśmy w postaci , co Oak zobaczymy) ułatwi ich kolejne wyznaczanie.

n!