0460

462

XII. Ciągi i szeregi funkcyjne

443. Definicje. Przejdźmy teraz do ogólnych sformułowań i definicji.

Niech będzie dany szereg liczbowy 00

(4)    = Co+*i+*2+ ••• +0»+0«+i + •••

o

(a) Jeżeli jego sumy częściowe-są kolejno raz mniejsze, a raz większe od pewnej liczby A, tzn. jeśli reszta r„ określona wzorem

(5)    A = <ło+0i+    +0n+r.

ma wyrazy na przemian dodatnie i ujemne, to mówimy, że szereg (4) oscyluje wokół liczby A. Z prostej równości

r« = 0«+i +r„+i

widzimy, że to określenie jest równoważne z takim:

(b) Szereg (4) nazywamy oscylującym wokół liczby A, gdy po pierwsze, wyrazy jego zmieniają wciąż znak i po drugie, reszta r, ze wzoru (S) jest co do wartości bezwzględnej mniejsza od liczby 0«+, i ma ten sam znak co ona (‘).

W poprzednim ustępie mieliśmy już do czynienia z takimi szeregami: szereg (1) wyraźnie oscylował wokół liczby In (1 +x) (dla dowolnego x>0), a szereg (2) oscylował wokół funkcji F(x) określonej w 2) (także dla x>0).

Zauważmy, że gdy szereg (4) jest rozbieżny, może on oscylować jednocześnie wokół nieskończenie wielu liczb A. Na przykład szereg

1—2+2—2+2— ...

o sumach częściowych 1, —1, 1, —1, 1, ... oscyluje oczywiście wokół każdej liczby z przedziału (—1, 1).

Dzięki własności szeregu oscylującego sformułowanej w definicji (b) można z niego często zrobić doskonały środek do obliczenia przybliżonej wartości liczby A, widać jednak wyraźnie, że nie każdy szereg oscylujący wokół liczby A nadaje się do tego celu.

Weźmy teraz zamiast szeregu (4) o wyrazach stałych i liczby A szereg funkcyjny

(6)    a«U) = 0o(*)+0i(*)+ ... +0„(x)+0,₊₁(jr)+ ... o

i pewną funkcję A (x). Niech funkcje a_m(x) i A (x) będą określone w tym samym obszarze X Podana przed chwilą definicja szeregu liczbowego oscylującego wokół danej liczby daje się w sposób naturalny uogólnić na przypadek szeregu funkcyjnego oscylującego wokół danej funkcji. Nie zatrzymując się na tym podamy nową definicję dotyczącą przypadku, gdy podobnie jak w (6) wyrazy szeregu zawierają jeszcze parametr x, którego obszar zmienności ma jako punkt skupienia skończoną lub nieskończoną liczbę co. Jak zwykle określimy resztę r„(x) za pomocą równości

A (x) = 0_O(x)+0₁(x)+ ... +0»(x)+r„(x).

(c) Szereg (6) nazywamy rozwinięciem asymptotycznym funkcji A (x) w pobliżu x = co, jeżeli dla dowolnego n

(7)    lim-^= 0(²).

M~m a.(x)

(‘) Będziemy używali nazwy „oscylujący” nawet wtedy, gdy warunki tej definicji będą spełnione tylko dla dostatecznie dużych n (powiedzmy dla n>n₀>l).

(²) Zakładamy przy tym naturalnie, że wyrazy ajjc) są różne od 0 przynajmniej dla x dostatecznie bliskich co.