34 (357)

164

ODPOWIEDZI, WSKAZÓWKI, ROZWb

123.    /i = 7.

Rozwiązanie. Liczby n. n + 1, n+2.....3n. 3n + 1 tworzą ciąg arytmetyczny. Liczba wyrazów tego ciągu jest równa 2n t 2.

Zatem « + (// +!)+(//+2)+ ... + 3/i+(3n + I)= ■* ⁺ y- ^ • 12n + 2) =4/T+5/1 + 4 = 232. Su^d otrzymujemy /i=7.

124.    Ciąg rosnący.

125.    sinnrcostt=-0,42.

_    ,    ......    sin« + cos« i „ . .    ,

Rozwiązanie. Dane liczby tworzą ciąg arylmetyczny. więc ---- -L. Stąd (siner+cosa)* = -^-.

isinor+cosay 1+2sincreosa. zatem sinor-cosa -0.42.

Ji3 5 •

126. .sinor+costf = —

127. 1250n.

Rozwiązanie. Miejscami zerowymi funkcji / są liczby \=Ą- + kx. gdzie 1 e C. więc kolejne miejsca zerowe są kolejnymi wazami ciągu arytmetycznego. Do przedziału (0; 50ir> należy pięćdziesiąt miejsc zerowych funkcji /. najmniejszym z nich jest liczba ■£. •' największym

_    t 4F--*4⁽Lt

— + 4*i,7. Obliczamy sumę miejsc zerowych należących do przedziału (0; 50tr):    —--50= 25,7 50= I25u,t.

128. 2525n (Rozwiązania równania: .v= k gdzie ke C).

129. 25.

Wskazówka. Jeśli n jest liczbą parzystą, to sin(-y+ «.t) - sin Jeśli // jest liczbą nieparzystą, to sin(y + /i/r) = sin4p.

130.

I02S

1024'

131. /<!)= 1.51(1 + 3).

Rozwiązanie. Znajdujemy pierwiastki trójmiunu .r - 3Lr + 2L²-k-I: A = ⁽>ir-4-121*-1 - I) = 1* + 41 + 4 = (1 + 2)^:. 1 >-2, więc .\>0 i VA =1 + 2. i| = l -1. 12=21+1. .V|<dla każdego 1>-2, więc nierówność a - 3Lr + 21' -1-I 50 spełniają liczby ,rę <1-I: 21+|).

I.iczbami całkowitymi należącymi do przedziału są liczby 1 1.1.....21. 21 + 1. Mamy 1 + 3 liczby, które tworzą ciąg arytmetyczny.

1-1 + 21 a I

(1 + 3) = yL(l +3). Funkcja /określona jest w/orcm /(!)= 1,51(1+3).

Zatem (A-D+1+.....+21+42A + ID

132. b) pc (-<*; -3)u(0:3).

133. u,=/j + l.

Rozwiązanie, u., i = 3^I‘^>^'¹    = ‘>°    ₌q^l"^c '^<l,n ¹    - _l<;/| >° \ Aby obliczyć trzeci wyraz ciągu <</,). musimy najpierw obliczyć dragi

wyraz lego ciągu: «j= (a,)⁰³ = 2(2 + vI). </.= Ihi)"'⁵ ■ (4 + 2/3)⁰³ = (3+2.^:3 +1)⁰³ =|(V3 + lr |⁰³ =«3 + l.

134. 4'³.

Rozwiązanie. (A.) jest ciągiem geometrycznym, więc iloraz    dla każdej liczby /»g C* ma stalą wartość.

^ \ *^>n

</ = ~j~ = _tl<)    ³‘^ł" =4'^ł,<'"'^ł "«' = 64"'^łłl ‘‘ⁿ , więc różnica r/„.ma stalą wartość, a to oznacza, te ciąg (u,) jest atytme-

tyczny. Jeśli («„) jest ciągiem arytmetycznym, to pięciowyra/owc ciągi <i|. «₍. </,. <t_;. <r, i a_:. o„ a,,, a*. a_m również są arytmetyczne.

.    (it+Oa a,    . , „„    u?+/;•<, a, +r + n,*^,lr

/attem u, + </s + u» + o, +    = —— • 5 = ——4--5 = (_ff| + 4r)-5 = 20. a_: + </, + «„ + «_K + <1,.,= - y '.^ll.5 = -!-_!--5 -    ₊ 5^.5 -15,

gdzie r jest różnicą ciągu Otrzymaliśmy układ równań </, +4r=4 i </,+5r=3. którego rozwiązaniem jest para liczb «, = X.r=-l. Iloraz

ciągu (/m t/= fvt"'¹*' “ⁿ =(>4^r = <>4^-1.

135. 1 = 4.

Wskazówka, t/tj jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 4. którego wszystkie wyrazy są liczbami całkowitymi. Wykaż, ze wśród trzech kolejnych wyrazów ciągu («„) jest wyraz pod/iclny przez 3.